Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 1 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10;

b) y = x⁴ + 2x² – 3;

c) $y=x+\frac{1}{x}$ ;

d) y = x³ (1 – x²);

e) $y=\sqrt{x^2-x+1}$.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 6x² + 6x – 36

y' = 0 $\iff$6x² + 6x – 36 = 0  

$\iff \begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}$

Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y_CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = -54.

b) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 4x³ + 4x = 4x(x² + 1)

y' = 0$\iff$4x(x² + 1) = 0

$\iff$ x = 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = -3

       hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = $ℝ$ \ {0}

Ta có: $y^{\text{'}}=1-\frac{1}{x^2}$

y' = 0$\iff 1-\frac{1}{x^2}=0\iff x^2=1$

$\iff$ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y_CĐ = -2;

       hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y_CT = 2.

d) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = (x³)’.(1 – x)² + x³.[(1 – x)²]’

= 3x².(1 – x)² + x³.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x²(1 – x)² – 2x³(1 – x)

= x².(1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = $\frac{3}{5}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{3}{5}$, giá trị cực đại là y_CĐ  = $\frac{108}{3125}$.

       hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là y_CT = 0.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = $ℝ$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

Có y' = 0

$\iff 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{2}$, giá trị cực tiếu y_CT = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.