Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5/3a^2x^3 + 2ax^2 - 9x + b đều là nhưng số dương

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 5 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 5a²x² + 4ax – 9

Suy ra y'' = 10a²x + 4a

- Nếu a = 0 thì y' = – 9 < 0 với mọi số thực x

Do đó hàm số không có cực trị (loại)

- Nếu a ≠ 0.

y' = 0 $\iff$ 5a²x² + 4ax – 9 = 0

 $\iff$5. (ax)² + 4 . ax – 9 = 0

 $\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{a}\\ x=\frac{-9}{5a}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{a}\\ x=\frac{-9}{5a}\end{array}$  

Có ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{1}{a}\right)=10a^2.\frac{1}{a}+4a=14a$

${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{-9}{5a}\right)=10a^2.\frac{-9}{5a}+4a=-14a$  

+ TH1: $x=\frac{1}{a}$ là điểm cực đại

Khi đó $\begin{array}{l}\frac{1}{a}=\frac{-5}{9}\\ 14a<0\end{array}\iff a=-\frac{9}{5}$

Suy ra $x=\frac{-9}{5a}$ là điểm cực tiểu.

Khi đó: y_CĐ = $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{80}{27}+b$

          y_CT = $f\left(\frac{-9}{5a}\right)=\frac{-36}{5}+b$ 

Các cực trị của hàm số đều dương nên

$\begin{array}{l}\frac{80}{27}+b>0\\ \frac{-36}{5}+b>0\end{array}\iff b>\frac{-36}{5}$

TH2: $x=\frac{-9}{5a}$ là điểm cực đại

Khi đó: $\begin{array}{l}\frac{-9}{5a}=\frac{-5}{9}\\ -14a<0\end{array}\iff a=\frac{81}{25}$

Suy ra $x=\frac{1}{a}$ là điểm cực tiểu

Khi đó: y_CĐ = $f\left(\frac{-9}{5a}\right)=4+b$

          y_CT = $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{-400}{243}+b$ 

Các cực trị của hàm số đều dương nên

$\begin{array}{l}4+b>0\\ \frac{-400}{243}+b>0\end{array}\iff b>\frac{400}{243}$

Vậy  $\begin{array}{l}a=\frac{-9}{5}\\ b>\frac{36}{5}\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}a=\frac{81}{25}\\ b>\frac{400}{243}\end{array}$là các giá trị cần tìm.