Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 4 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 3x² – 2mx – 2

y' = 0$\iff$ 3x² – 2mx – 2 = 0

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{m-\sqrt{m^2+6}}{3}\\ x=\frac{m+\sqrt{m^2+6}}{3}\end{array}$

Lại có: y'' = 6x – 2m

$\mathrm{Do}{{\mathrm{y}}^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{m}-\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}\right)=6.\frac{\mathrm{m}-\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}-2\mathrm{m}$   

$=-2\sqrt{m^2+6}<0\forall m$

Nên $x=\frac{m-\sqrt{m^2+6}}{3}$ là một điểm cực đại của hàm số.

$\mathrm{Do}{{\mathrm{y}}^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{m}+\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}\right)=6.\frac{\mathrm{m}+\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}-2\mathrm{m}=2\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}>0\forall \mathrm{m}$

Nên $x=\frac{m+\sqrt{m^2+6}}{3}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi m.