Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Hoạt động 4 trang 16 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Ta có: $y=\left|x\right|=\begin{array}{l}xkhix\ge 0\\ -xkhix<0\end{array}$

Khi đó: $y^{\text{'}}=\begin{array}{l}1khix\ge 0\\ -1khix<0\end{array}$

Lại có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{y}^{\text{'}}=1;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{y}^{\text{'}}=-1$ 

hay $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{y}^{\text{'}}\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{y}^{\text{'}}$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|

Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.