Giả sử f(x) đạt cực đại tại x0

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Hoạt động 2 trang 14 Toán lớp 12 Giải tích: Giả sử f(x) đạt cực đại tại x₀. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số $\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Lời giải:

+ Với Δx > 0, ta có:

$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0=f^{\text{'}}\left({x_0}^{+}\right)$

+ Với Δx < 0, ta có:

$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0=f^{\text{'}}\left({x_0}^{-}\right)$

Do đó: 

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$

Vậy f’(x₀) = 0.