Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mục lục Giải Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hoạt động 1 trang 20 Toán 12 Giải tích: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x² trên đoạn [-3; 0];

b) $y=\frac{x+1}{x-1}$ trên đoạn [3; 5].

Lời giải:

a) Ta có: y' = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0].

Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.

b) Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{x-1-x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}<0$ trên đoạn [3; 5]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [3; 5].

Khi đó trên đoạn [3; 5]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 và giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{2}$.

Hoạt động 2 trang 21 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\begin{array}{l}-x^2+2khi-2\le x\le 1\\ xkhi1<x\le 3\end{array}$có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.

Lời giải:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy quan sát đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2. Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy quan sát đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3. Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.

Hoạt động 3 trang 23 Toán 12 Giải tích: Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)=-\frac{1}{1+x^2}.$ Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{2x}{{\left(1+x^2\right)}^2}$

y' = 0 thì $\frac{2x}{{\left(1+x^2\right)}^2}=0\iff$x = 0.

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là – 1 tại x = 0.

Bài 1 trang 23, 24 Toán 12 Giải tích: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x³ – 3x² – 9x + 35 trên các đoạn [– 4; 4] và [0; 5] ;

b) y = x⁴ – 3x² + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;

c)  $y=\frac{2-x}{1-x}$ trên các đoạn [2; 4] và [– 3; – 2] ;

d)  $y=\sqrt{5-4x}$ trên đoạn [– 1; 1].

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 3x² – 6x – 9;

Có y' = 0 $\iff$3x² – 6x – 9 = 0

$\iff$x = – 1 hoặc x = 3.

+ Xét hàm số trên đoạn [– 4; 4] :

y(– 4) = – 41 ;

y(– 1) = 40 ;

y(3) = 8;

y(4) = 15.

Suy ra $\underset{\left.-4;4\right]}{\min }y=y\left(-4\right)=-41$;

$\underset{\left.-4;4\right]}{max}y=y\left(-1\right)=40$.

+ Xét hàm số trên [0 ; 5].

y(0) = 35 ;

y(3) = 8 ;

y(5) = 40.

Suy ra $\underset{\left.0;5\right]}{\min }y=y\left(3\right)=8$;

 $\underset{\left.0;5\right]}{max}y=y\left(5\right)=40$.

b) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 4x³ - 6x

Có y' = 0$\iff$2x.(2x² – 3) = 0

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\end{array}$

+ Xét hàm số trên [0 ; 3]:

y(0) = 2;

$y\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=\frac{-1}{4}$

y(3) = 56

Suy ra $\underset{\left.0;3\right]}{\min }y=y\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=-\frac{1}{4}$;

$\underset{\left.0;3\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(3\right)=56$.

+ Xét hàm số trên [2; 5].

y(2) = 6;

y(5) = 552.

Suy ra $\underset{\left.2;5\right]}{\min }y=y\left(2\right)=6$;

$\underset{\left.2;5\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(5\right)=552$.

c) TXĐ: D = (-∞; 1)  (1; +∞)

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}>0\forall x\in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

Do đó hàm số đồng biến trên [2; 4] và [-3; -2].

Vậy $\underset{\left.2;4\right]}{\min }y=y\left(2\right)=0$; $\underset{\left.2;4\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(4\right)=\frac{2}{3}$

$\underset{\left.-3;-2\right]}{\min }y=y\left(-3\right)=\frac{5}{4}$; $\underset{\left.-3;-2\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(-2\right)=\frac{4}{3}.$

d) TXĐ: $D=\left(-\infty ;\frac{5}{4}\right]$

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{-4}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\forall x\in \left(-\infty ;\frac{-5}{4}\right)$

Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{5}{4}\right)$

Do đó hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

Vậy $\underset{\left.-1;1\right]}{\min }y=y\left(1\right)=1$; $\underset{\left.-1;1\right]}{max}y=y\left(-1\right)=3.$

Bài 2 trang 24 Toán 12 Giải tích: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

16 : 2 = 8 cm.

Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 8)

Suy ra độ dài cạnh còn lại là :

8 – x (cm)

Diện tích của hình chữ nhật là:

S = x(8 – x) = 8x – x² 

Xét hàm số

S(x) = 8x – x² trên (0; 8)

Ta có: S' = 8 – 2x; S' = 0

$\iff$8 – 2x = 0 $\iff$ x = 4

S(0) = 0; S(4) = 16; S(8) = 0

Do đó: S_max = 16 khi x = 4

Suy ra độ dài cạnh còn lại là

8 – 4 = 4 (cm)

Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16 cm thì hình vuông cạnh bằng 4 cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm².

Cách khác:

Ta có: S = x(8 – x) = 8x – x² 

= 16 – (16 – 8x + x²)

= 16 – (x – 4)² ≤ 16.

Suy ra: S_max = 16

Dấu bằng xảy ra khi (x – 4)² = 0$\iff$x = 4.

Bài 3 trang 24 Toán 12 Giải tích:

Bài 4 trang 24 Toán 12 Giải tích:

Bài 5 trang 24 Toán 12 Giải tích: