Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giải Toán 12 Bài 3:

Bài 1 trang 23, 24 Toán lớp 12 Giải tích:

a) y = x³ – 3x² – 9x + 35 trên các đoạn [– 4; 4] và [0; 5] ;

b) y = x⁴ – 3x² + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;

c)  $y=\frac{2-x}{1-x}$ trên các đoạn [2; 4] và [– 3; – 2] ;

d)  $y=\sqrt{5-4x}$ trên đoạn [– 1; 1].

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 3x² – 6x – 9;

Có y' = 0 $\iff$3x² – 6x – 9 = 0

$\iff$x = – 1 hoặc x = 3.

+ Xét hàm số trên đoạn [– 4; 4] :

y(– 4) = – 41 ;

y(– 1) = 40 ;

y(3) = 8;

y(4) = 15.

Suy ra $\underset{\left.-4;4\right]}{\min }y=y\left(-4\right)=-41$;

$\underset{\left.-4;4\right]}{max}y=y\left(-1\right)=40$.

+ Xét hàm số trên [0 ; 5].

y(0) = 35 ;

y(3) = 8 ;

y(5) = 40.

Suy ra $\underset{\left.0;5\right]}{\min }y=y\left(3\right)=8$;

 $\underset{\left.0;5\right]}{max}y=y\left(5\right)=40$.

b) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 4x³ - 6x

Có y' = 0$\iff$2x.(2x² – 3) = 0

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\end{array}$

+ Xét hàm số trên [0 ; 3]:

y(0) = 2;

$y\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=\frac{-1}{4}$

y(3) = 56

Suy ra $\underset{\left.0;3\right]}{\min }y=y\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=-\frac{1}{4}$;

$\underset{\left.0;3\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(3\right)=56$.

+ Xét hàm số trên [2; 5].

y(2) = 6;

y(5) = 552.

Suy ra $\underset{\left.2;5\right]}{\min }y=y\left(2\right)=6$;

$\underset{\left.2;5\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(5\right)=552$.

c) TXĐ: D = (-∞; 1)  (1; +∞)

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}>0\forall x\in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

Do đó hàm số đồng biến trên [2; 4] và [-3; -2].

Vậy $\underset{\left.2;4\right]}{\min }y=y\left(2\right)=0$; $\underset{\left.2;4\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(4\right)=\frac{2}{3}$

$\underset{\left.-3;-2\right]}{\min }y=y\left(-3\right)=\frac{5}{4}$; $\underset{\left.-3;-2\right]}{\mathrm{m}ax}y=y\left(-2\right)=\frac{4}{3}.$

d) TXĐ: $D=\left(-\infty ;\frac{5}{4}\right]$

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{-4}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\forall x\in \left(-\infty ;\frac{-5}{4}\right)$

Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{5}{4}\right)$

Do đó hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

Vậy $\underset{\left.-1;1\right]}{\min }y=y\left(1\right)=1$; $\underset{\left.-1;1\right]}{max}y=y\left(-1\right)=3.$