Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Giải Toán 12 Bài 3:

Bài 2 trang 24 Toán lớp 12 Giải tích:

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

16 : 2 = 8 cm.

Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 8)

Suy ra độ dài cạnh còn lại là :

8 – x (cm)

Diện tích của hình chữ nhật là:

S = x(8 – x) = 8x – x² 

Xét hàm số

S(x) = 8x – x² trên (0; 8)

Ta có: S' = 8 – 2x; S' = 0

$\iff$8 – 2x = 0 $\iff$ x = 4

S(0) = 0; S(4) = 16; S(8) = 0

Do đó: S_max = 16 khi x = 4

Suy ra độ dài cạnh còn lại là

8 – 4 = 4 (cm)

Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16 cm thì hình vuông cạnh bằng 4 cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm².

Cách khác:

Ta có: S = x(8 – x) = 8x – x² 

= 16 – (16 – 8x + x²)

= 16 – (x – 4)² ≤ 16.

Suy ra: S_max = 16

Dấu bằng xảy ra khi (x – 4)² = 0$\iff$x = 4.