Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m^2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

Giải Toán 12 Bài 3:

Bài 3 trang 24 Toán lớp 12 Giải tích: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) (điều kiện: x > 0).

Suy ra độ dài cạnh còn lại là: $\frac{48}{x}$ (m)

Do đó chu vi hình chữ nhật:

P(x) = $2.\left(x+\frac{48}{x}\right)=2x+\frac{96}{x}$

Xét hàm số P(x) = $2x+\frac{96}{x}$ trên (0; +∞)

Ta có:

$P^{\text{'}}\left(x\right)=2-\frac{96}{x^2}$

$P^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 2-\frac{96}{x^2}=0\iff x^2=48\Rightarrow x=4\sqrt{3}$

Bảng biến thiên trên (0; +∞):

Suy ra

$\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }P\left(x\right)=P\left(4\sqrt{3}\right)=2.4\sqrt{3}+\frac{96}{4\sqrt{3}}=16\sqrt{3}$

Suy ra cạnh của hình chữ nhật là x = $4\sqrt{3}$ 

và $\frac{48}{x}=\frac{48}{4\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$.

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m² thì hình vuông cạnh  $4\sqrt{3}$ m có chu vi nhỏ nhất.