Chứng minh rằng hàm số y = căn |x| không có đạo hàm tại x = 0

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:

Lời giải:

Hàm số $y=\sqrt{\left|x\right|}$có tập xác định D = $ℝ$ và liên tục trên $ℝ$.

+ Chứng minh hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$

không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{-x}}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$

Suy ra không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}.$ 

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với mọi x thuộc (-1; 1) và x ≠ 0

Do đó hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.