Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 2 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:

a) y = x⁴ - 2x² + 1;

b) y = sin2x – x;

c) y = sinx + cosx;

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 4x³ - 4x

Có y' = 0$\iff$4x(x² – 1) = 0

$\iff$ x = 0 hoặc x = ±1.

Lại có: y" = 12x² - 4

y"(0) = -4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y"(-1) = 8 > 0 nên x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 2cos2x – 1;

Có y' = 0 $\iff$2cos2x – 1 = 0

 $\iff$cos 2x = $\frac{1}{2}$

 $\iff$2x = $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 $\iff$ x = $\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lại có:  y" = -4.sin2x

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)$

$=-4\sin \frac{\pi }{3}=-4.\frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}<0vớik\in \mathbb{Z}$ 

Do đó: x = $\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ là các điểm cực đại của hàm số.

Lại có:

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left(-\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)$

 $=-4\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-4.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\sqrt{3}>0k\in \mathbb{Z}$

Do đó: x = $-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y’ = cos x – sin x.

Có y' = 0 $\iff$ cos x – sin x = 0

$\iff \sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lại có:

y'' = – sin x – cos x

$=-\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

Ta có:

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}\cos k\pi =\begin{array}{l}\sqrt{2}khikle\\ -\sqrt{2}khikchan\end{array}$

Do đó: hàm số đại cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+\left(2k+1\right)\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 5x⁴ – 3x² – 2

Có y' = 0$\iff$5x⁴ – 3x² – 2 = 0

$\iff \begin{array}{l}{x}^2=1\left(tm\right)\\ x^2=\frac{-2}{5}\left(ktm\right)\end{array}\iff x=\pm 1.$

Lại có: y" = 20x³ – 6x

Do y"(– 1) = – 20 + 6 = –14 < 0

Nên x = – 1 là điểm cực đại của hàm số.

Do y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

Nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.