Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 12 trang 27 Toán lớp 12 Hình học:

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại.

Tính tỉ số $\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{\left(H^{\text{'}}\right)}}$.

Lời giải:

a)

Gọi M’ là hình chiếu của M lên mp(ABCD). Khi đó MM’ = AA’ = a.

Ta có:

$S_{ABCD}=S_{ABN}+S_{AND}+S_{CND}$

$\iff a^2=\frac{1}{2}a.\frac{a}{2}+S_{AND}+\frac{1}{2}.a.\frac{a}{2}\Rightarrow S_{AND}=\frac{a^2}{2}$

Thể tích của khối tứ diện ADMN là: 

b) Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương theo thiết diện MEDNF trong đó ME // ND, FN // DE và chia hình lập phương thành hai khối đa diện (H) và (H’), gọi phần khối lập phương chứa A, B, A’, mặt phẳng (DMN) là (H).

Chia (H) thành các hình chóp F.DBN, D.ABFMA’ và D.A’EM.

Ta có: FN // ED $\Rightarrow \Delta FBN$ đồng dạng với

$\Rightarrow \frac{BF}{BN}=\frac{D{D}^{\text{'}}}{E{D}^{\text{'}}}=\frac{4}{3}\Rightarrow BF=\frac{4}{3}BN=\frac{4}{3}.\frac{a}{2}=\frac{2a}{3}$

Ta có:

$S_{BDN}=\frac{1}{2}{S}_{BDC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{a^2}{4}$

Thể tích của khối chóp F.DBN là:

$V_{F.BDN}=\frac{1}{3}{S}_{BND}.FB=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{4}.\frac{2a}{3}=\frac{a^3}{18}$

Lại có:

$S_{FM{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}F{B}^{\text{'}}.B^{\text{'}}M=\frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{12}$

Diện tích ngũ giác ABFMA’ là:

$S_{ABFM{A}^{\text{'}}}=S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}-S_{FM{B}^{\text{'}}}=a^2-\frac{a^2}{12}=\frac{11a^2}{12}$

Thể tích của khối chóp D.ABFMA’ là:

$V_{D.ABFM{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.DA.S_{ABFM{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.a.\frac{11a^2}{12}=\frac{11a^3}{36}$

Mặt khác ta có:

$S_{A^{\text{'}}ME}=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}M.A^{\text{'}}E=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{4}=\frac{a^2}{16}$

Thể tích của khối chóp D.A’EM là:

$V_{D.A^{\text{'}}EM}=\frac{1}{3}{S}_{A^{\text{'}}EM}.D{D}^{\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{16}.a=\frac{a^3}{48}$

Do đó thể tích của (H) là:

$V_{\left(H\right)}=V_{F.DBN}+V_{D.ABFM{A}^{\text{'}}}+V_{D.A^{\text{'}}EM}=\frac{a^3}{18}+\frac{11a^3}{36}+\frac{a^3}{48}=\frac{55a^3}{144}$

Suy ra thể tích của (H’) là:

$V_{\left(H^{\text{'}}\right)}=V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-V_{\left(H\right)}=a^3-\frac{55a^3}{144}=\frac{89a^3}{144}$

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là:

$\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{\left(H^{\text{'}}\right)}}=\frac{\frac{55a^3}{144}}{\frac{89a^3}{144}}=\frac{55}{89}$.