Cho hình chóp tam giác O.ABC

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 5 trang 26 Toán lớp 12 Hình học:

Lời giải:

Ta có: $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$

$\Rightarrow OA\perp \left(OBC\right)$

$\Rightarrow OA\perp BC$ (1)

Vẽ  $AE\perp BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp \left(AOE\right)$

$\Rightarrow \left(ABC\right)\perp \left(AOE\right)$, $\left(ABC\right)\cap \left(AOE\right)=AE$ (3)

Trong mặt phẳng AOE, vẽ $OH\perp AE$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $OH\perp \left(ABC\right)$

Do đó OH là đường cao của hình chóp O.ABC

Mặt khác $BC\perp \left(AOE\right)\Rightarrow BC\perp OE$

Tam giác OBC vuông tại O có OE là đường cao nên:

$\frac{1}{O{E}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$(5)

Tam giác AOE vuông ở O có OH là đường cao nên:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{E}^2}$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}{a^2{b}^2{c}^2}$

Vậy $OH=\frac{abc}{\sqrt{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}}$.