Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 8 trang 26 Toán lớp 12 Hình học:

*Lời giải:

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}BC\perp SA\left(SA\perp \left(ABCD\right)\right)\\ BC\perp AB\left(hcnABCD\right)\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp A{B}^{\text{'}}$

Mà $A{B}^{\text{'}}\perp SB$

Nên $A{B}^{\text{'}}\perp \left(SBC\right)\Rightarrow A{B}^{\text{'}}\perp SC$ (1)

Chứng minh tương tự ta được:

$A{D}^{\text{'}}\perp \left(SCD\right)\Rightarrow A{D}^{\text{'}}\perp SC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta lại có:

$SB=\sqrt{A{B}^2+S{A}^2}=\sqrt{a^2+c^2}$

$SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Ta có:

$S_{SAB}=\frac{1}{2}SA.AB=\frac{1}{2}A{B}^{\text{'}}.SB$

$\Rightarrow A{B}^{\text{'}}=\frac{SA.AB}{SB}=\frac{c.a}{\sqrt{a^2+c^2}}$

Tương tự:

$A{D}^{\text{'}}=\frac{SA.AD}{SD}=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}$;

$A{C}^{\text{'}}=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{c.\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\Rightarrow S{B}^{\text{'}}=\sqrt{S{A}^2-A{B^{\text{'}}}^2}=\sqrt{c^2-{\left(\frac{ca}{\sqrt{a^2+c^2}}\right)}^2}$

Tương tự:

$S{D}^{\text{'}}=\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}};S{C}^{\text{'}}=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Vì tam giác SC’B’ đồng dạng với tam giác SBC nên $\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{S{C}^{\text{'}}}=\frac{BC}{SB}$

$\Rightarrow B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{BC.S{C}^{\text{'}}}{SB}=\frac{b.\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2+c^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Tương tự:

$C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}=\frac{a{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Ta có: $A{B}^{\text{'}}\perp B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ và $A{D}^{\text{'}}\perp D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ nên:

$S_{A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.A{B}^{\text{'}}.B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{1}{2}.\frac{ca}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2+c^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$=\frac{ab{c}^3}{2\left(a^2+c^2\right)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$S_{A{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}A{D}^{\text{'}}.D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{1}{2}.\frac{cb}{\sqrt{b^2+c^2}}.\frac{a{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{ab{c}^3}{2\left(b^2+c^2\right)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Vậy thể tích khối chóp S.AB’C’D’ là:

$V=\frac{1}{3}.S{C}^{\text{'}}.S_{A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.S{C}^{\text{'}}\left(S_{A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+{S^{\text{'}}}_{A{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\frac{1}{3}.\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\frac{1}{2}.\frac{ab{c}^3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}\right)$

$=\frac{1}{6}.\frac{ab{c}^5}{a^2+b^2+c^2}.\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{ab{c}^5\left(a^2+b^2+2c^2\right)}{6\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}$

*Phương pháp giải

1. Xác định tọa độ các điểm: Sử dụng các điều kiện đã cho để xác định tọa độ của các điểm B’, D’ và C’.
2. Xác định mặt phẳng (AB’D’): Tìm phương trình mặt phẳng (AB’D’) và điểm C’ là giao điểm của mặt phẳng này với đường thẳng SC.
3. Tính thể tích khối chóp: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp với các điểm đã xác định.

* Lý thuyết và một số dạng bài tập liên quan:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích $V=\frac{1}{3}h.S$

DẠNG BÀI:

Dạng 1.Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Dạng 2.Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Dạng 3.Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Dạng 4.Tỉ số thể tích