Cho hình chóp S.ABCD

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 7 trang 28 Toán lớp 12 Hình học:

A. $\frac{1}{2}$ ;                 

B. $\frac{1}{4}$ ;                 

C. $\frac{1}{8}$ ;                  

D. $\frac{1}{16}$ .

Lời giải:

Vì công thức tỉ số thể tích chỉ dùng cho hình chóp tam giác, nên ta chia hình chóp tứ giác S.A’B’C’D’ thành hai hình chóp tam giác S.A’B’C’ và S.A’C’D’ và chia hình chóp S.ABCD thành hai hình chóp S.ABC và S.ADC.

Ta có:

$\frac{V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{\text{'}}}{SA}.\frac{S{B}^{\text{'}}}{SB}.\frac{S{C}^{\text{'}}}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

Lại có:

$\frac{V_{S.A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ADC}}=\frac{S{A}^{\text{'}}}{SA}.\frac{S{D}^{\text{'}}}{SD}.\frac{S{C}^{\text{'}}}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

Khi đó: $\frac{1}{8}=\frac{V_{S.A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ADC}}=\frac{V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{1}{8}=\frac{V_{S.A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ADC}}=\frac{V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}=\frac{V_{S.A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ADC}+V_{S.ABC}}=\frac{V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{V_{S.ABCD}}$

Vậy $\frac{V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{8}$.

Chọn đáp án C