Cho hình lăng trụ đứng tam giác

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 10 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.

Lời giải:

a)

Ta chia khối lăng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB’

Ta có: V_A’.ABC = V_{C.A’B’C’} = $\frac{1}{3}Sh$ trong đó S là diện tích đáy,

S = S_ABC = S_A’B’C’ và h là chiều cao của hình lăng trụ.

Lại có: V_{ABC.A’B’C’} = S.h

Do đó:

$V_{C.A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}}=Sh-\frac{1}{3}Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh$

Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên 

$S=S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên

h = AA’ = BB’= CC’ = a.

Vậy thể tích khối chóp C.A’BB’ là:

$V_{C.A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Do đó thể tích khối tứ diện A’BB’C là

$V_{A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}C}=V_{C.A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

b)

 

Thể tích hình chóp C.A′B′FE bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- V₁ là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác CEF.

- V₂ là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác A′EC.

Do (ABC) // (A′B′C′) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: 

EF = $\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}a$

Hình chóp B′.CEF có chiều cao BB′ = a và diện tích đáy là: 

S_CEF = $\frac{1}{2}$EF.CG

$=\frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$

 (với G là trọng tâm tam giác ABC)

Từ đây ta có: $V_1=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{9}=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}$

Do EC = $\frac{2}{3}$AC $=\frac{2}{3}a$

Nên  

$S_{A^{\text{'}}EC}=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}A.EC=\frac{1}{2}a.\frac{2}{3}a=\frac{a^2}{3}$

Gọi I là trung điểm của A′C′ ta có: 

$\left.\begin{array}{l}{B}^{\text{'}}I\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ B^{\text{'}}I\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow B^{\text{'}}I\perp \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$

$\Rightarrow B^{\text{'}}I\perp \left(A^{\text{'}}EC\right)$

Hình chóp B′.A′EC có chiều cao là B′I bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên:

$V_2=\frac{1}{3}.\text{}{B}^{\text{'}}I.S_{A^{\text{'}}EC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{18}$

Vậy thể tích hình chóp C.A′B′FE là

$V=V_1+V_2=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}+\frac{a^3\sqrt{3}}{18}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{54}$