Cho hình chóp tam giác S.ABC

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 7 trang 26 Toán lớp 12 Hình học:

Lời giải:

Từ S dựng SH  (ABC), H thuộc mặt phẳng (ABC), dựng $HE\perp AB,HF\perp BC,HI\perp AC$ với $E\in AB,F\in BC,I\in AC$.

Ta có: 

$\left.\begin{array}{l}AB\perp SH\left(SH\perp \left(ABC\right)\right)\\ AB\perp HE\end{array}\right\}\Rightarrow AB\perp \left(SHE\right)$

$\Rightarrow AB\perp SE$

Tương tự ta chứng minh được: $SF\perp BC,SI\perp AC$

Khi đó, góc hợp bởi (SAB), (SBC), (SAC) với đáy (ABC) lần lượt là: 

$\widehat{SEH}=\widehat{SFH}=\widehat{SIH}=60°$

$\Rightarrow \Delta SHE=\Delta SHF=\Delta SHI$

 HE = HF = HI = r

(Với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Chu vi tam giác ABC là: 

5a + 6a + 7a = 18a

Suy ra nửa chu vi tam giác ABC là:

p = 18a : 2 = 9a

Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác ABC là:

S_ABC = $\sqrt{9a\left(9a-5a\right)\left(9a-6a\right)\left(9a-7a\right)}$

 $=6a^2\sqrt{6}$

Lại có: S_ABC  = p. r

$\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{6a^2\sqrt{6}}{9a}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow SH=EH\tan \widehat{SEH}=r.\tan 60°=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3}=2a\sqrt{2}$

Vậy thể tích của S.ABC là:

 $V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2a\sqrt{2}.6a^2\sqrt{6}=8a^3\sqrt{3}\left(đvtt\right).$