Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 9 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60^o. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Lời giải:

Gọi H là giao hai đường chéo AC và BD, H là tâm hình vuông ABCD

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SH\perp \left(ABCD\right)$.

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}BD\perp AC\left(hvABCD\right)\\ BD\perp SH\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$

$\Rightarrow EF\perp \left(SAC\right)$

Mà $AM\subset \left(SAC\right)$ nên $AM\perp EF$

Gọi I là giao điểm của AM và EF.

Ta có: AC = BD = $\sqrt{a^2+a^2}$ = $a\sqrt{2}$

$\Rightarrow HD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Lại có:

$EI=FI=\frac{2}{3}HD=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Góc tạo bởi cạnh bên SC và đáy (ABCD) là góc giữa SC và CH và là $\widehat{SCH}=60°$ (do CH là hình chiếu của SC lên đáy (ABCD)).

Vì SA = SC (do hình chóp tứ giác đều S.ABCD) và $\widehat{SCA}=\widehat{SCH}=60°$ nên tam giác SAC đều có cạnh là AC$=a\sqrt{2}$.

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$;

$SM=\frac{SC}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $AM\perp EF$ nên

Lại có SM nằm trong (SAC) và $EF\perp \left(SAC\right)$ nên $SM\perp EF$

Mà SAC là tam giác đều nên

Do đó: $SM\perp \left(AEMF\right)$

Suy ra SM là đường cao của hình chóp S.AEMF

Vậy thể tích khối chóp S.AEMF là:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{SMS}}_{\mathrm{AEMF}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích$V=\frac{1}{3}h.S$

*Lý thuyết:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

2. Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích$V=\frac{1}{3}h.S$

3. Thể tích một số khối chóp đặc biệt

a. Khối tứ diện đều:Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy