Bài tập 2 trang 73 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải SGK Toán10Chân trời sáng tạoBài tập cuối chương 9

Bài tập 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ $K\left(\frac{a+b}{2};0\right)$.

     H là trung điểm của CD ⇒ $H\left(0;\frac{c+d}{2}\right)$

⇒ $I\left(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2}\right)$.

Ta có:  $\overrightarrow{IA}$= $\left(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2}\right)$⇒ IA = $\left.\overrightarrow{IA}\right|$= $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$.

$\overrightarrow{IC}$ = $\left(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2}\right)$⇒ IC = $\left.\overrightarrow{IC}\right|$= $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$.

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$= $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$

⇔ (a−b)² + (c+d)² = (a+b)² + (c−d)²

⇔ a²−2ab+b²+c²+2cd+d² = a²+2ab+b²+c²−2cd+d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có:  $\overrightarrow{EF}$= (−a; −c}, = (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}$. $\overrightarrow{BD}$ = (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ $\overrightarrow{EF}$⊥ $\overrightarrow{BD}$hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.