Giải Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Nhị thức Newton

Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton

A.Câu hỏi

Giải Toán 10trang 33Tập 2

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết được công thức khai triển biểu thức (a + b)ⁿ với n > 0 như sau:

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$(có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴= (a + b) (a + b)³ = = a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴

Tính giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$rồi so sánh với hệ số của triển khai trên

Từ đó hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Các hệ số tương ứng của các số hạng của khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

iii) Ta có: $C_3^0=1;C_3^1=3;C_3^2=3;C_3^3=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển trên.

b) Ta có: (a + b)⁴= (a + b) (a + b)³ =(a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + (3a³b + a³b) + (3a²b² + 3a²b²) + (ab³+ 3ab³) + b⁴

=a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Giá trị của $C_4^0=1;C_4^1=4;C_4^2=6;C_4^3=4;C_4^4=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng trong khai triển trên.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$ta viết lại công thức khai triển (a + b)⁴ như sau:

(a + b)⁴= $C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

c) Ta có dự đoán công thức như sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$.

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

(a + b)⁵ = (a + b)².(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁵ + 3a⁴b + 3a³b² + a²b³ + 2a⁴b + 6a³b² + 6a²b³ + 2ab⁴ + a³b² + 3a²b³ + 3ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Mà $C_5^0$ = 1, $C_5^1$= 5, $C_5^2$= 10, $C_5^3$= 10, $C_5^4$= 5, $C_5^5$= 1.

Khi đó (a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$luôn đúng.

Giải Toán 10trang 35Tập 2

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)⁴

b) (x + 2y)⁵

Lời giải:

a) (x – 2)⁴

$=C_4^0{x}^4-2C_4^1{x}^3+4C_4^2{x}^2-8C_4^3{x}^3+16C_4^4$

$=x^4-8x^3+24x^2-32x^3+16$.

b) ( x + 2y)⁵

$=C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4.2y+C_5^2{x}^3{\left(2y\right)}^2+C_5^3{x}^2{\left(2y\right)}^3+C_5^{4}x{\left(2y\right)}^4+C_5^5{\left(2y\right)}^5=x^5+10x^{4}y+40x^3{y}^2+80x^2{y}^3+80x{y}^4+32y^5$

Hoạt động thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng công thức của nhị thức Newton chứng tỏ rằng:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$

Lời giải:

a)

$C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3{.2}^1+C_4^2{.1}^2{.2}^2+C_4^3{\mathrm{.1.2}}^3+C_4^4{.2}^4$

Áp dụng công thức của nhị thức Newton ta có:

$C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ = (1 + 2)⁴ = 3⁴ = 81 (đpcm).

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.{(-2)}^1+C_4^2{.1}^2.{(-2)}^2+C_4^3{.1}^1.{(-2)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

Áp dụng công thức của nhị thức Newton ta có:

$C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ = (1 – 2)⁴ = (–1)⁴ = 1 (đpcm).

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Lời giải:

Mỗi cách lựa chọn mua vé của khách hàng là một tổ hợp chập k của 4 . Do đó, số phương thức mua vé là $C_4^k$, mà tính cả trường hợp không mua vé nào cả. Vậy số phương thức lựa chọn mua một số vé trong số các vé sổ số đó bằng: $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$.

Theo công thức của nhị thức Newton, ta có:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$= (1 + 1)⁴ = 2⁴ = 16 cách thức lựa chọn mua vé sổ số

B. Bài tập

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴

b) (x – $\sqrt{2}$)⁵

Lời giải:

a) (3x + y)⁴ = $C_4^0{\left(3x\right)}^4+C_4^1{\left(3x\right)}^{3}y+C_4^2{\left(3x\right)}^2{y}^2+C_4^3.3x{y}^3+C_4^4{y}^4$

=81x⁴ +108x³y + 54x²y² + 12xy³ + y⁴.

Vậy (3x + y)⁴ = 81x⁴ + 108x³y + 54x²y² + 12xy³ + y⁴.

b)

(x – $\sqrt{2}$)⁵ = $C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4(-\sqrt{2})+C_5^2{x}^3{(-\sqrt{2})}^2+C_5^3{x}^2{(-\sqrt{2})}^3+C_5^{4}x{(-\sqrt{2})}^4+C_5^5{(-\sqrt{2})}^5$

= x⁵ – 5$\sqrt{2}$x⁴ + 20x³ – 20$\sqrt{2}$x² + 20x – 4$\sqrt{2}$.

Vậy (x – $\sqrt{2}$)⁵ = x⁵ – 5$\sqrt{2}$x⁴ + 20x³ – 20$\sqrt{2}$x² + 20x – 4$\sqrt{2}$.

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Triển khai và rút gọn các biểu thức sau:

a) (2 + $\sqrt{2}$)⁴;

b) (2 + $\sqrt{2}$)⁴ +(2 – $\sqrt{2}$)⁴;

c) (1 – $\sqrt{3}$)⁵

Lời giải:

a) (2 + $\sqrt{2}$)⁴ $=C_4^0{2}^4+C_4^1{2}^3.\sqrt{2}+C_4^2{2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2+C_4^{3}2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 + 32$\sqrt{2}$+ 48 + 16$\sqrt{2}$+ 4 = 68 + 48$\sqrt{2}$.

Vậy (2 + $\sqrt{2}$)⁴ = 68 + 48$\sqrt{2}$

b) (2 + $\sqrt{2}$)⁴ +(2 – $\sqrt{2}$)⁴

Ta có: (2 - $\sqrt{2}$)⁴ $=C_4^0{2}^4-C_4^1{2}^3.\sqrt{2}+C_4^2{2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2-C_4^{3}2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 – 32$\sqrt{2}$+ 48 – 16$\sqrt{2}$+ 4 = 68 – 48$\sqrt{2}$.

Vậy (2 + $\sqrt{2}$)⁴ +(2 – $\sqrt{2}$)⁴ = 68 + 48$\sqrt{2}$+ 68 – 48$\sqrt{2}$= 68 + 68 = 136

c) (1 – $\sqrt{3}$)⁵

$=C_5^0{.1}^5-C_5^1{.1}^4.\sqrt{3}+C_5^2{.1}^3.{\left(\sqrt{3}\right)}^2-C_5^3{.1}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^3+C_5^4\mathrm{.1.}{\left(\sqrt{3}\right)}^4-C_5^1.{\left(\sqrt{3}\right)}^5$

= 1 – 5$\sqrt{3}$+ 30 – 30$\sqrt{3}$+ 45 – 9$\sqrt{3}$= 76 – 44$\sqrt{3}$.

Vậy (1 – $\sqrt{3}$)⁵ = 76 – 44$\sqrt{3}$

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵

Lời giải:

Ta có: (3x – 2)⁵ = $C_5^0{\left(3x\right)}^5-C_5^1{\left(3x\right)}^4.2+C_5^2{\left(3x\right)}^3{.2}^2-C_5^3{\left(3x\right)}^2{.2}^3+C_5^{4}3x{.2}^4-C_5^5{2}^5$

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Vậy hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵ là: 1080.

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Chứng minh rằng: $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$.

Lời giải:

Ta có:

$C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=C_5^0{1}^5+C_5^1{1}^4(-1)+C_5^2{1}^3{(-1)}^2+C_5^3{1}^2{(-1)}^3+C_5^{4}1{(-1)}^4+C_5^5{(-1)}^5$

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

$C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=$(1 – 1)⁵ = 0 (đpcm).

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Cho A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A

Lời giải:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử là một tập hợp chập k của 5. Do đó số tập con như vậy bằng $C_5^k$

+ Số tập hợp con có số lẻ phần tử của A gồm các trường hợp sau:

- Tập con có 1 phần tử: $C_5^1$;

- Tập con có 3 phần tử: $C_5^3$;

- Tập con có 5 phần tử: $C_5^5$.

Do đó tổng số tập con có lẻ phần tử là $C_5^1+C_5^3+C_5^5$(tập).

+ Số tập hợp con có số chẵn phần tử của A gồm các trường hợp sau:

- Tập con có 0 phần tử: $C_5^0$;

- Tập con có 2 phần tử: $C_5^2$;

- Tập con có 4 phần tử: $C_5^4$.

Do đó tổng số tập con có lẻ phần tử là $C_5^0+C_5^2+C_5^4$ (tập).

Mà ta có $C_5^1=C_5^4;C_5^3=C_5^2;C_5^5=C_5^0$nên $C_5^1+C_5^3+C_5^5$= $C_5^4+C_5^2+C_5^0$

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Lý thuyết Nhị thức Newton

1. Nhị thức Newton là gì?

Nhị thức Newton là một định lý toán học quan trọng liên quan đến khai triển hàm mũ của tổng và phân tích các đa thức bậc cao. Định lý Nhị thức Newton có ứng dụng rộng rãi trong toán học và nhiều lĩnh vực khác, bao gồm:

+ Tính tổ hợp và chỉnh hợp: Định lý Nhị thức Newton là công cụ quan trọng trong việc tính toán số cách sắp xếp hoặc chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan trọng thứ tự, điều này có ứng dụng trong nhiều vấn đề tổ hợp và chỉnh hợp.

+ Dãy số: Định lý Nhị thức Newton thường được sử dụng để chứng minh các thuộc tính của các dãy số, ví dụ như dãy số Fibonacci và dãy số Pascal.

+ Xác suất và thống kê: Trong xác suất và thống kê, định lý Nhị thức Newton được sử dụng để tính xác suất và biểu diễn các phân phối xác suất, nhất là trong việc tính toán xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc.

+ Lý thuyết đồ thị: Công thức Nhị thức được sử dụng để tính toán số lượng đồ thị con trong một đồ thị, điều này có ứng dụng trong lý thuyết đồ thị và các vấn đề liên quan đến mạng lưới.

2. Công thức Nhị thức Newton và khai triển

Với $a,b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có:

Hai công thức khai triển:

• ${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

• ${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left(a+b\right)}^n$ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

– Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 0; 1; 2; 3; … được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như dưới đây.

Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của 2 số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên dược gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).

Ví dụ: Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

(a + 2)⁴ = 1.a⁴ + 4a³.2 + 6a².2² + 4a.2³ + 2⁴

= a⁴ + 8a³ + 24a² + 32a + 16.

Ví dụ: Khai triển và rút gọn biểu thức: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

Do đó ta có: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5=176+80\sqrt{5}+176-80\sqrt{5}=352.$

II. Các dạng bài toán Nhị thức Newton

Dạng 1. Bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát: Khai triển nhị thức newton

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m. Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy số hạng chứa x^m là: với giá trị k đã tìm được ở trên. Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x^m trong khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ được viết dưới dạng a₀ + a₁x + …+ a₂ⁿx²ⁿ

Ta làm như sau:

Viết

Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx^p + cx^q Thành một đa thức theo lũy thừa của x Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton

Ta làm như sau: Tính hệ số ak theo k và n. Giải bất phương trình sau với ẩn số k.$a_{k-1}\le a_k$

Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.

Dạng 2. Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Tìm hệ số x^k trong khai triển nhị thức newton

Phương pháp chung: Sử dụng công thức khai triển nhị thức newton. Tìm số hạng có chứa x^k và tìm hệ số tương ứng.

Ví dụ: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (2 + x)⁵

Giải: Ta có

Cho k = 3 ta được hệ số của x³ là: C³₅. 2^5-3 = 40

Dạng 3. Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển:

(a + b)ⁿ = C₀ⁿ aⁿ + C₁ⁿ a^n-1b + C₂ⁿ a^n-2b² + …+ C_n-1 ⁿ ab^n-1 + C_nⁿ bⁿ

Suy ra điều phải chứng minh. Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức. Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp

Dạng 4. Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp

Cho một khai triển (a + x)ⁿ phù hợp, ở đây a là hằng số. Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân. Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể