Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Giải Toán 10trang 120Tập 1

Hoạt động khởi động trang 120 Toán lớp 10 Tập 1: Nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu và Lâm Đồng (đơn vị: độ C)

Theo bạn, địa phương nào có thời tiết ôn hòa hơn?

Lời giải:

Lâm Đồng có thời tiết ôn hòa hơn do sự chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng không lớn.

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Hoạt động khám phá 1 trang 120 Toán lớp 10 Tập 1: Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:

a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.

b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Thời gian chạy nhanh nhất của nhóm 1 là 17 phút, thời gian chạy chậm nhất của nhóm 1 là 47 phút.

Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là 47 - 17 = 30 phút.

Thời gian chạy nhanh nhất của nhóm 2 là 29 phút, thời gian chạy chậm nhất của nhóm 2 là 32 phút.

Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là 32 - 29 = 3 phút.

b) Dựa vào mẫu số liệu trên, ta thấy nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn nhóm 1.

Giải Toán 10trang 121Tập 1

Thực hành 1 trang 121 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.

Lời giải:

a) Giá trị cao nhất trong mẫu là: 19.

Giá trị thấp nhất trong mẫu là: 2.

Khoảng biến thiên của mẫu là: 19 - 2 = 17.

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 10.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 2; 5; 7 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(2 + 5) = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 10; 13; 15; 19 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(13 + 15) = 14.

Khoảng tứ phân vị của mẫu trên là: 14 - 3,5 = 10,5.

b) Giá trị cao nhất trong mẫu là: 19.

Giá trị thấp nhất trong mẫu là: 1.

Khoảng biến thiên của mẫu là: 19 - 1 = 18.

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

Cỡ mẫu bằng 10 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = $\frac{1}{2}$(9 + 10) = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 1; 2; 5; 5; 9 là Q₁ = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 10; 10; 15; 15; 19 là Q₃ = 15.

Khoảng tứ phân vị của mẫu trên là: 15 - 5 = 10.

Vận dụng 1 trang 121 Toán lớp 10 Tập 1: Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.

b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

Lời giải:

a) +) Tỉnh Lai Châu:

Sắp xếp nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của tỉnh Lai Châu ta được mẫu sau:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

Khi đó khoảng biến thiên nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lai Châu là: 24,7 - 14,2 = 10,5.

Cỡ mẫu bằng 12 nên tứ phân vị thứ hai của mẫu là Q₂ = $\frac{1}{2}$(21 + 22,7) = 21,85.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(18,6 + 18,8) = 18,7.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(23,6 + 24,2) = 23,9.

Khoảng tứ phân vị nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lai Châu là: 23,9 - 18,7 = 5,2.

+) Tỉnh Lâm Đồng:

Sắp xếp nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của tỉnh Lâm Đồng ta được mẫu sau:

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

Khi đó khoảng biến thiên nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lâm Đồng là: 20,3 - 16 = 4,3.

Cỡ mẫu bằng 12 nên tứ phân vị thứ hai của mẫu là Q₂ = $\frac{1}{2}$(18,6 + 18,7) = 18,65.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(17,4 + 17,5) = 17,45.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(19,5 + 19,8) = 19,65.

Khoảng tứ phân vị nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lâm Đồng là: 19,65 - 17,45 = 2,2.

b) Ta thấy khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu lớn hơn tỉnh Lâm Đồng nên nhiệt độ tỉnh Lâm Đồng ổn định hơn.

Giải Toán 10trang 122Tập 1

Thực hành 2 trang 122 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.

Lời giải:

Sắp xếp mẫu trên theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 10,

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 3; 3; 9; 9 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(3 + 9) = 6.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 10; 12; 12; 37 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(12 +12) = 12.

Khi đó ${\Delta }_Q$= Q₃ - Q₁ = 12 - 6 = 6.

Ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$= 12 + 1,5 . 6 = 21, Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$= 6 - 9 = -3.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là 37.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Hoạt động khám phá 2 trang 122 Toán lớp 10 Tập 1: Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:

a) Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên.

b) Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?

Lời giải:

a) Kết quả trung bình của cung thủ A là:

$\frac{1}{10}$(8 + 9 + 10 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 9 + 8) = 8.

Kết quả trung bình của cung thủ B là:

$\frac{1}{10}$(10 + 6 + 8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8) = 8.

b) Dựa vào mẫu số liệu, ta thấy kết quả giữa các lần bắn liên tiếp của cung thủ B có sự chênh lệch nhỏ hơn cung thủ A nên cung thủ B có kết quả các lần bắn ổn định hơn.

Giải Toán 10trang 124Tập 1

Vận dụng 2 trang 124 Toán lớp 10 Tập 1: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Lời giải:

a) +) Tỉnh Tuyên Quang:

Số trung bình tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

$\frac{1}{12}$(25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145)

≈ 131,66.

Phương sai của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

S² = $\frac{1}{12}$(25² + 89² + 72² + 117² + 106² + 177² + 156² + 203² + 227² + 146² + 117² + 145²) -131,66² ≈ 2 922,98.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{2922,98}$≈ 54,06.

+) Tỉnh Cà Mau:

Số trung bình tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Cà Mau là:

$\frac{1}{12}$(180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173) = 172.

Phương sai của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Cà Mau là:

S² = $\frac{1}{12}$(180² + 223² + 257² + 245² + 191² + 111² + 141² + 134² + 130² + 122² + 157² + 173²) - 172² = 2 183.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{2183}$≈ 46,72.

b) Ta thấy 46,72 < 54,06 nên Cà Mau có sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng nhỏ hơn Tuyên Quang.

Bài tập

Bài 1 trang 124 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi đo chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn nam hay các bạn nữ đồng đều hơn.

Lời giải:

Học sinh tự thực hiện việc đo, sau đó tính phương sai, độ lệch chuẩn của chiều cao các bạn nam và các bạn nữ, sau đó so sánh để thu được kết quả.

Bài 2 trang 124 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

a) 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

b) 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

Lời giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 8 - 2 = 6.

Cỡ mẫu bằng 9 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 5.

Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 3; 4; 4 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(3 + 4) = 3,5.

Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 6; 6; 7; 8 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(6 + 7) = 6,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: ${\Delta }_Q$= 6,5 - 3,5 = 3.

Ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$= 6,5 + 1,5 . 3 = 11; Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$= 3,5 - 1,5 . 3 = -1.

Do đó mẫu trên không có giá trị ngoại lệ.

b) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 64 - 12 = 52.

Cỡ mẫu bằng 8 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = $\frac{1}{2}$(26 + 29) = 27,5.

Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 12; 13; 23; 26 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(13 + 23) = 18.

Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 29; 37; 43; 64 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(37 + 43) = 40.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: ${\Delta }_Q$= 40 - 18 = 22.

Ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$= 40 + 1,5 . 22 = 73; Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$= 18 - 1,5 . 22 = -15.

Do đó mẫu trên không có giá trị ngoại lệ.

Giải Toán 10trang 125Tập 1

Bài 3 trang 125 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a)

b)

Lời giải:

a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{\left(-2\right).10+\left(-1\right).20+1.20+2.10}{10+20+30+20+10}$= 0

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{90}$[10 . (-2)² + 20 . (-1)² + 20 . 1² + 10 . 2²] = $\frac{4}{3}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 2 - (-2) = 4.

Cỡ mẫu bằng 90 nên tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 45 và 46 của mẫu số liệu là Q₂ =$\frac{1}{2}$(0 + 0) = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu gồm các giá trị – 2; – 1; 0 với cỡ mẫu 45 nên tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ 23 trong mẫu số liệu là Q₁ = -1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu gồm các giá trị 0; 1; 2 với cỡ mẫu 45 nên tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 78 trong mẫu số liệu là Q₃ = 1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: 1 - (-1) = 2.

b) Gọi cỡ mẫu là 10.

Khi đó giá trị 0 xuất hiện 0,1 . 10 = 1 lần, giá trị 1 xuất hiện 0,2 . 10 = 2 lần, giá trị 2 xuất hiện 0,4 . 10 = 4 lần, giá trị 3 xuất hiện 0,2 . 10 = 2 lần, giá trị 4 xuất hiện 0,1 . 10 = 1 lần.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1.2+2.4+3.2+4.1}{10}$= 2.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{10}$(2 . 1² + 4 . 2² + 2 . 3² + 1 . 4²) - 2² = 1,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$\sqrt{1,2}=\frac{\sqrt{30}}{5}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 4 - 0 = 4.

Cỡ mẫu bằng 10 nên tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 5 và thứ 6 trong mẫu số liệu là Q₂ = $\frac{1}{2}$(2 + 2) = 2.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0; 1; 1; 2; 2 với cỡ mẫu bằng 5 là số liệu thứ 3 trong mẫu số liệu là Q₁ = 1.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 2; 3; 3; 4 với cỡ mẫu bằng 5 là số liệu thứ 8 trong mẫu số liệu là Q₃ = 3.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 3 - 1 = 2.

Bài 4 trang 125 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu số liệu sau:

Mẫu 1: 0,1; 0,3; 0,5; 0,5; 0,3; 0,7.

Mẫu 2: 1,1; 1,3; 1,5; 1,5; 1,3; 1,7.

Mẫu 3: 1; 3; 5; 5; 3; 7.

Lời giải

+) Mẫu 1:

Số trung bình của mẫu số liệu 1 là: $\frac{1}{6}$(0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,5 + 0,3 + 0,7) = 0,4.

Phương sai của mẫu số liệu 1 là: $\frac{1}{6}$(0,1² + 0,3² + 0,5² + 0,5² + 0,3² + 0,7²) - 0,4² = $\frac{11}{300}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 1 là: $\sqrt{\frac{11}{300}}=\frac{\sqrt{33}}{30}$.

+) Mẫu 2:

Số trung bình của mẫu số liệu 2 là: $\frac{1}{6}$(1,1 + 1,3 + 1,5 + 1,5 + 1,3 + 1,7) = 1,4.

Phương sai của mẫu số liệu 2 là: $\frac{1}{6}$(1,1² + 1,3² + 1,5² + 1,5² + 1,3² + 1,7²) - 1,4² = $\frac{11}{300}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 2 là: $\sqrt{\frac{11}{300}}=\frac{\sqrt{33}}{30}$.

+) Mẫu 3:

Số trung bình của mẫu số liệu 3 là: $\frac{1}{6}$(1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 7) = 4.

Phương sai của mẫu số liệu 3 là: $\frac{1}{6}$(1² + 3² + 5² + 5² + 3² + 7²) - 4² = $\frac{11}{3}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 3 là: $\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{\sqrt{33}}{3}$.

Số trung bình của mẫu 1 nhỏ hơn mẫu 2 và số trung bình của mẫu 2 nhỏ hơn mẫu 3.

Phương sai của mẫu số 1 bằng mẫu số 2 và bằng $\frac{1}{100}$phương sai của mẫu số 3.

Độ lệch chuẩn của mẫu số 1 bằng mẫu số 2 và bằng $\frac{1}{10}$độ lệch chuẩn của mẫu số 3.

Bài 5 trang 125 Toán lớp 10 Tập 1: Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị: nghìn tấn).

a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.

b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?

Lời giải:

a) +) Tỉnh Thái Bình:

Số trung bình về sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là:

$\frac{1}{5}$(1 061,9 + 1 061,9 + 1 053,6 + 942,6 + 1 030,4) = 1 030,08.

Phương sai của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là:

$\frac{1}{5}$(1 061,9² + 1 061,9² + 1 053,6² + 942,6² + 1 030,4²) - 1 030,08² ≈ 2 046,21.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là:

$\sqrt{2046,21}$≈ 45,24.

Khoảng biến thiên sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là: 1 061,9 - 942,6 = 119,3.

+) Tỉnh Hậu Giang:

Số trung bình về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là:

$\frac{1}{5}$(1 204,6 + 1 293,1 + 1 231,0 + 1 261,0 + 1 246,1) = 1 247,16.

Phương sai của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là:

$\frac{1}{5}$(1 204,6² + 1 293,1² + 1 231,0² + 1 261,0² + 1 246,1²) - 1 247,16² ≈ 875,13.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là:

$\sqrt{875,13}$≈ 29,58.

Khoảng biến thiên sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là: 1 293,1 - 1 204,6 = 88,5.

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang nhỏ hơn tỉnh Thái Bình nên tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.

Bài 6 trang 125 Toán lớp 10 Tập 1: Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Lời giải:

a) +) Nhà máy A:

Mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A sau khi được sắp xếp theo thứ tự không giảm tạo thành mẫu:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A là:

$\frac{1}{8}$(4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 47) = 10.

Giá trị 4 và 5 cùng xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 4 và 5.

Cỡ mẫu bằng 8 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = $\frac{1}{2}$(5 + 5) = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 4; 4; 4; 5 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(4 + 4) = 4.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 5; 5; 6; 47 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(5 + 6) = 5,5.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{8}$(4² + 4² + 4² + 5² + 5² + 5² + 6² + 47²) - 10² = 196.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $\sqrt{196}$= 14.

+) Nhà máy B:

Mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B sau khi được sắp xếp theo thứ tự không giảm tạo thành mẫu:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B là:

$\frac{1}{9}$(2 + 8 + 9 . 5 + 10 + 11) ≈ 8,4.

Giá trị 9 xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 9.

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 8; 9; 9 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(8 + 9) = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 9; 9; 10; 11 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(9 + 10) = 9,5.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{9}$(2² + 8² + 5 . 9² + 10² + 11²) - 8,4² ≈ 6,55.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $\sqrt{6,55}$≈ 2,56.

b) Tại nhà máy A ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$= 5,5 + 1,5 . (5,5 - 4) = 7,75;Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$= 4 - 1,5 . (5,5 - 4) = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A là 47.

Tại nhà máy B ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$= 9,5 + 1,5 . (9,5 - 8,5) = 11;Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$= 8,5 - 1,5 . (9,5 - 8,5) = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B là 2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mức lương hàng thàng của công nhân nhà máy B nhỏ hơn nhà máy A nên công nhân nhà máy B có mức lương cao hơn.

Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu - Chân trời sáng tạo

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1.1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

• Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

• Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu giữa Q_3­ và Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

Ví dụ: Hãy tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu:

10; 3; 5; 7; 20; 1; 4; 9.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 3; 4; 5; 7; 9; 10; 20.

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 20 – 1 = 19.

- Cỡ mẫu là n = 8, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 6.

- Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 3; 5; 7. Do đó Q₁ = 4.

- Tứ phân vị thứ 3 là trung vị của mẫu: 7; 9; 10; 20. Do đó Q₃ = 9,5.

- Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 9,5 – 4 = 5,5.

1.2. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Ví dụ: Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.

b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

Hướng dẫn giải

a)

* Tỉnh Lai Châu:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 24,7 – 14,2 = 10,5.

+ Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:

Q₂ = $\frac{1}{2}\left(21,0+22,7\right)=21,85$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0.

Do đó Q₁ = $\frac{1}{2}\left(18,6+18,8\right)=18,7$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

Do đó Q₃ = $\frac{1}{2}\left(23,6+24,2\right)=23,9$.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 23,9 – 18,7 = 5,2.

* Tỉnh Lâm Đồng:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R' = 20,3 – 16,0 = 4,3.

+ Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:

Q'₂ = $\frac{1}{2}\left(18,6+18,7\right)=18,65$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6.

Do đó Q'₁ = $\frac{1}{2}\left(17,4+17,5\right)=17,45$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

Do đó Q'₃ = $\frac{1}{2}\left(19,5+19,8\right)=19,65$.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆'_Q = 19,65 – 17,45 = 2,2.

b) Xét về cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của cả hai tỉnh, ta thấy: 10,5 > 4,3 hay R > R' và 5,2 > 2,2 hay ∆_Q > ∆'_Q.

Điều đó có nghĩa là trong một năm, nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.

1.3. Giá trị ngoại lệ

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

Sự xuất hiện của các giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi lớn. Do đó, khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu.

Ví dụ: Trong ví dụ ở phần 1.1, ta có:

Q₁ – 1,5∆_Q = 4 – 1,5 . 5,5 = – 4,25

Q₃ + 1,5∆_Q = 9,5 + 1,5 . 5,5 = 17,75

Do đó, mẫu có một giá trị ngoại lệ là 20.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

2.1. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

* Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

trong đó $\overline{x}$là số trung bình của mẫu số liệu.

•Căn bậc hai của phương saiđược gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Giá trị	x1	x2	…	xk
Tần số	n1	n2	…	nk

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành

Ví dụ: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sau:

8; 10; 9; 7; 6; 10; 6; 7; 8; 9.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 10.

Số trung bình: (8 + 10 + 9 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 8 + 9) : 10 = 8.

Phương sai mẫu số liệu là:

S² =$\frac{1}{10}$(8² + 10² + 9² + 7² + 6² + 10² + 6² + 7² + 8² + 9²) – 8² = 2.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Ví dụ: Điều tra số con của mỗi hộ gia đình trong tổ dân cư xóm 2, kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Tổng số hộ gia đình là: n = 4 + 4 + 8 + 3 + 1 = 20 (hộ gia đình).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

$\overline{x}=\frac{1}{20}$(4 . 0 + 4 . 1 + 8 . 2 + 3 . 3 + 1 . 4) = 1,65

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

S² = (4 . 0² + 4 . 1² + 8 . 2² + 3 . 3² + 1 . 4²) – 1,65² = 1,2275

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{1,2275}\approx 1,11$.

2.2. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Ví dụ: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Hướng dẫn giải

a)

* Tỉnh Tuyên Quang:

+ Số trung bình:

$\overline{x_1}=\frac{25+89+72+117+106+177+156+203+227+146+117+145}{12}\approx 131,67$.

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:$S_1^2=\frac{1}{12}\left({25}^2+{89}^2+{72}^2+{117}^2+{106}^2+{177}^2+{156}^2+{203}^2+{227}^2+{146}^2+{117}^2+{145}^2\right)$≈ 2920,34.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:

S₁ = $\sqrt{S_1^2}=\sqrt{2920,34}\approx 54,04$.

* Tỉnh Cà Mau:

+ Số trung bình:

$\overline{x_2}=\frac{180+223+257+245+191+111+141+134+130+122+157+173}{12}=172$.

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

$S_2^2=\frac{1}{12}$(180² + 223² + 257² + 245² + 191² + 111² + 141² + 134² + 130² + 122² + 157² + 173²) – 172² = 2183.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

S₂ = $\sqrt{S_2^2}=\sqrt{2183}\approx 46,72$.

b) Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang cao hơn tỉnh Cà Mau nên tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng ở tỉnh Tuyên Quang có độ phân tán cao hơn ở tỉnh Cà Mau. Do đó, sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở tỉnh Cà Mau ổn định (có ít sự thay đổi) hơn so với tỉnh Tuyên Quang.