Giải Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Khái niệm vectơ

Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ

1. Định nghĩa vectơ

Giải Toán 10trang 81Tập 1

Hoạt động khám phá 1 trang 81 Toán lớp 10 Tập 1: Trong thông báo: Có một con tàu chở 500 tấn hàng từ cảng A đến cảng B cách nhau 500 km.

Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

- Khối lượng của hàng: 500 tấn.

- Độ dịch chuyển của tàu: 500 km từ A đến B.

Lời giải:

Khối lượng của hàng: 500 tấn biểu thị khối lượng hàng mà tàu cần chở là 500 tấn. Đại lượng này vô hướng.

Độ dịch chuyển của tàu: 500 km từ A đến B biểu thị quãng đường tàu cần di chuyển. Đại lượng này có hướng.

Giải Toán 10trang 82Tập 1

Thực hành 1 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CH},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{HA}$ trong Ví dụ 1. Biết tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và H là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

Tam giác ABC đều lại có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.

Ta có HC = $\frac{1}{2}$BC = 1.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

AH² + HC² = AC²

$\Rightarrow$AH² = 2² - 1²

$\Rightarrow$AH² = 3

$\Rightarrow$AH = $\sqrt{3}$

Vectơ $\overrightarrow{CH}$có điểm đầu là C, điểm cuối là H, có giá là đường thẳng CH và $\left.\overrightarrow{CH}\right|$= 1.

Vectơ $\overrightarrow{CB}$có điểm đầu là C, điểm cuối là B, có giá là đường thẳng CB và $\left.\overrightarrow{CB}\right|$= 2.

Vectơ $\overrightarrow{HA}$có điểm đầu là H, điểm cuối là A, có giá là đường thẳng HA và $\left.\overrightarrow{HA}\right|=\sqrt{3}$.

Thực hành 2 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , hai đường chéo cắt nhau tại O (Hình 5). Tìm độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AO}$.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A:

BD² = AB² + AD²

$\Rightarrow$BD² = ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$\Rightarrow$BD² = 1

$\Rightarrow$BD = 1 (do BD là độ dài đoạn thẳng nên BD > 0)

Do ABCD là hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại O nên AC = BD và O là trung điểm của AC.

Do đó AC = BD = 1 và OA = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.

Vậy $\left.\overrightarrow{AC}\right|=\left.\overrightarrow{B\text{D}}\right|$= 1 và $\left.\overrightarrow{OA}\right|=\left.\overrightarrow{AO}\right|=\frac{1}{2}$.

Giải Toán 10trang 83Tập 1

Hoạt động khám phá 2 trang 83 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn có nhận xét gì về giá của các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$ trong Hình 6?

Lời giải:

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB; giá của vectơ $\overrightarrow{C\text{D}}$là đường thẳng CD.

Đường thẳng AB và CD trùng nhau nên giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{C\text{D}}$trùng nhau.

Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$là đường thẳng PQ, giá của vectơ $\overrightarrow{RS}$là đường thẳng RS.

Đường thẳng PQ và đường thẳng RS song song với nhau nên giá của hai vectơ $\overrightarrow{PQ}$và $\overrightarrow{RS}$song song với nhau.

Giải Toán 10trang 84Tập 1

Thực hành 3 trang 84 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát Hình 8 và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$;

b) Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$;

c) Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

a) Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$là: vectơ $\overrightarrow{y}$, vectơ $\overrightarrow{w}$và vectơ $\overrightarrow{z}$.

b) Vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$là: vectơ $\overrightarrow{b}$.

c) Vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$là: vectơ $\overrightarrow{v}$.

Thực hành 4 trang 84 Toán lớp 10 Tập 1: Khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích.

Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Lời giải:

TH1. A, B, C thẳng hàng; A nằm ngoài đoạn thẳng BC

Ta có A, B, C thẳng hàng; B và C cùng nằm ở một phía so với điểm A (1).

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{AC}$là đường thẳng AC.

Vì A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và đường thẳng AC trùng nhau (2).

Từ (1) và (2) ta có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$cùng hướng.

TH2. A, B, C thẳng hàng; A nằm giữa B và C

Ta có A, B, C thẳng hàng; B và C cùng nằm khác phía so với điểm A (1).

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{AC}$là đường thẳng AC.

Vì A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và đường thẳng AC trùng nhau (2).

Từ (1) và (2) ta có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$ngược hướng.

Hoạt động khám phá 3 trang 84 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD (Hình 10), hãy so sánh độ dài và hướng của hai vectơ:

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$;

b) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$.

Lời giải:

a) Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{DC}$cùng hướng.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD.

Do đó $\left.\overrightarrow{AB}\right|=\left.\overrightarrow{C\text{D}}\right|$.

b) Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{A\text{D}}$và $\overrightarrow{CB}$ngược hướng.

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC.

Do đó $\left.\overrightarrow{AD}\right|=\left.\overrightarrow{BC}\right|$.

Giải Toán 10trang 85Tập 1

Thực hành 5 trang 85 Toán lớp 10 Tập 1: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (Hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$.

b) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{EC}$.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AB nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$BC.

Do D là trung điểm của BC nên DB = DC = $\frac{1}{2}$BC.

Ta thấy các vectơ $\overrightarrow{DB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{EF}$và $\left.\overrightarrow{DB}\right|=\left.\overrightarrow{C\text{D}}\right|=\left.\overrightarrow{EF}\right|=\frac{BC}{2}$.

Do đó các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$là vectơ $\overrightarrow{DB}$và vectơ $\overrightarrow{CD}$.

b) Tứ giác FECD có EF // CD và EF = CD nên FECD là hình bình hành.

Do đó EC = FD.

Do E là trung điểm của AC nên EA = EC.

Ta thấy các vectơ $\overrightarrow{E\text{A}}$, vectơ $\overrightarrow{DF}$và vectơ $\overrightarrow{CE}$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{EC}$và

$\left.\overrightarrow{E\text{A}}\right|=\left.\overrightarrow{DF}\right|=\left.\overrightarrow{CE}\right|=\left.\overrightarrow{EC}\right|$.

Do đó các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{EC}$là vectơ $\overrightarrow{E\text{A}}$, vectơ $\overrightarrow{DF}$và vectơ $\overrightarrow{CE}$.

Giải Toán 10trang 86Tập 1

Thực hành 6 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm độ dài của các vectơ $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EE},\overrightarrow{EM},\overrightarrow{MM},\overrightarrow{FF}$ trong Ví dụ 5.

Cho đoạn thẳng EF có độ dài bằng 2 và nhận M là trung điểm.

Lời giải:

Do M là trung điểm của EF nên EM = $\frac{1}{2}$EF = 1.

Ta có: $\left.\overrightarrow{EF}\right|$= EF = 2, $\left.\overrightarrow{EE}\right|=\left.\overrightarrow{0}\right|$= 0, $\left.\overrightarrow{EM}\right|$= EM = 1, $\left.\overrightarrow{MM}\right|=\left.\overrightarrow{0}\right|$= 0, $\left.\overrightarrow{FF}\right|=\left.\overrightarrow{0}\right|$= 0.

Bài 1 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

- Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng.

- Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc.

b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ?

Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.

Lời giải:

a) - Đại lượng số tiền 20 triệu đồng biểu thị số tiền bác Ba có.

- Đại lượng vận tốc 20 km/h của cơn bão di chuyển theo hướng đông bắc biểu thị quãng đường cơn bão đi được mỗi giờ và hướng đi của cơn bão.

b) Các đại lượng giá tiền, thể tích, tuổi được biểu diễn bởi các số thực.

Do đó các đại lượng cần được biểu diễn bởi vectơ là: lực, độ dịch chuyển, vận tốc.

Bài 2 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và DC (Hình 15). Điểm M nằm trên đoạn DC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{DM}$.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình thang nên AB // CD.

Do đó các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$là: vectơ $\overrightarrow{DM}$, vectơ $\overrightarrow{MC}$, vectơ $\overrightarrow{DC}$.

b) Các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{DM}$là: vectơ $\overrightarrow{BA}$, vectơ $\overrightarrow{CM}$, vectơ $\overrightarrow{M\text{D}}$,

vectơ $\overrightarrow{CD}$.

Bài 3 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a (Hình 16).

a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

Lời giải:

a) Hình vuông ABCD có tâm O nên AC $\perp$BD và OA = OB = OC = OD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AOD vuông tại O có:

OA² + OD² = AD²

$\Rightarrow$2OA² = a²

$\Rightarrow$OA² = $\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow$OA = $\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$(do OA là độ dài đoạn thẳng nên OA > 0)

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{OA}$và $\overrightarrow{CO}$cùng hướng và $\left.\overrightarrow{OA}\right|=\left.\overrightarrow{CO}\right|$nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$là vectơ $\overrightarrow{OA}$và vectơ $\overrightarrow{CO}$.

Chú ý: Ngoài ra chúng ta có thể có hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$là vectơ $\overrightarrow{OB}$và vectơ $\overrightarrow{DO}$, …

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D:

AD² + DC² = AC²

$\Rightarrow$a² + a² = AC²

$\Rightarrow$AC² = 2a²

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{2}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{CA}$ngược hướng và $\left.\overrightarrow{AC}\right|=\left.\overrightarrow{CA}\right|$nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$là vectơ $\overrightarrow{AC}$và vectơ $\overrightarrow{CA}$.

Chú ý: Ngoài ta chúng ta có thể có hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$là vectơ $\overrightarrow{B\text{D}}$và vectơ $\overrightarrow{DB}$.

Bài 4 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Lời giải:

Phần thuận: ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Do ABCD là hình hình bình hành nên AB = DC và AB // DC.

Khi đó ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và vectơ $\overrightarrow{DC}$cùng hướng.

Mà AB = DC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Phần đảo: Tứ giác ABCD có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$thì ABCD là hình bình hành.

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{DC}$là đường thẳng DC.

Do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$nên đường thẳng AB và đường thẳng DC song song hoặc trùng nhau.

Do A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ giác nên hai đường thẳng AB và DC không trùng nhau.

Do đó đường thẳng AB và đường thẳng DC song song với nhau.

Mà $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$nên $\left.\overrightarrow{AB}\right|=\left.\overrightarrow{DC}\right|$hay AB = CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 5 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong Hình 17.

Lời giải:

Các cặp vectơ cùng hướng là: $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$.

Cặp vectơ ngược hướng là: $\overrightarrow{x}$và $\overrightarrow{y}$.

Cặp vectơ bằng nhau là: $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$.

Giải Toán 10trang 87Tập 1

Bài 6 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi O là tâm hình lục giác đều ABCDEF.

a) Tìm các vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$.

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

a) Do ABCDEF là lục giác đều nên BC // AD // EF.

Do đó các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$là: vectơ $\overrightarrow{CB}$, vectơ $\overrightarrow{DO}$, vectơ $\overrightarrow{DA}$, vectơ $\overrightarrow{EF}$.

b) Do ABCDEF là lục giác đều nên AB // CF // DE và AB = OC = FO = ED.

Các vectơ $\overrightarrow{OC}$, vectơ $\overrightarrow{F\text{O}}$, vectơ $\overrightarrow{E\text{D}}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$và

$\left.\overrightarrow{OC}\right|=\left.\overrightarrow{F\text{O}}\right|=\left.\overrightarrow{E\text{D}}\right|=\left.\overrightarrow{AB}\right|$nên các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$là: vectơ $\overrightarrow{OC}$, vectơ $\overrightarrow{F\text{O}}$và

vectơ $\overrightarrow{E\text{D}}$.

Bài 7 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm các lực cùng hướng và ngược hướng trong số các lực đẩy được biểu diễn bằng các vectơ trong Hình 18.

Lời giải:

Trong Hình 18a ta thấy hai lực $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng.

Trong Hình 18b ta thấy hai lực $\overrightarrow{c}$và $\overrightarrow{d}$ngược hướng.

Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và được kí hiệu là $\left.\overrightarrow{AB}\right|$. Như vậy ta có $\left.\overrightarrow{AB}\right|=AB$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a, BC = $2a\sqrt{3}$. Gọi M là trung điểm BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vectơ: $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AM}$.

Hướng dẫn giải

+ Vectơ $\overrightarrow{BA}$:

$\overrightarrow{BA}$ có điểm đầu là B, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AB.

Ta có: $\left.\overrightarrow{BA}\right|$ = BA = 2a.

+ Vectơ $\overrightarrow{MB}$:

$\overrightarrow{MB}$ có điểm đầu là M, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng MB.

Vì M là trung điểm BC nên BM = $\frac{BC}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Do đó $\left.\overrightarrow{MB}\right|=MB=a\sqrt{3}$.

+ Vectơ $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{AM}$ có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có giá là đường thẳng AM.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (do M là trung điểm BC).

Do đó AM cũng là đường cao của tam giác cân ABC.

Suy ra AM ⊥ BC.

Tam giác ABM vuông tại M: AM² = AB² – BM² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ AM² = 4a² – 3a² = a².

Ta suy ra AM = a.

Do đó $\left.\overrightarrow{AM}\right|$ = AM = a.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, ta có:

+) $\overrightarrow{MN}$ có giá là đường thẳng MN, $\overrightarrow{PQ}$ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.

Do đó $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

+) Ta có: $\overrightarrow{EF}$ có giá là đường thẳng EF, $\overrightarrow{GH}$ có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.

Do đó $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.

Chú ý:

+ Trong hình trên, hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ cùng hướng.

+ Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$cùng phương nhưng ngược hướng với nhau ($\overrightarrow{EF}$ có hướng từ trên xuống dưới và $\overrightarrow{GH}$có hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$là hai vectơ ngược hướng.

Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Giải thích: Ta thấy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. Ngược lại, nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương thì ta suy ta hai đường thẳng AB và AC phải song song hoặc trùng nhau. Mà hai đường thẳng này có điểm A là điểm chung, do đó đường thẳng AB và AC trùng nhau. Khi đó ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng. Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{b}$ được gọi là vectơ đối của vectơ .

Chú ý:

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}$ và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Khi đó độ dài của $\overrightarrow{a}$ là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là $\left.\overrightarrow{a}\right|$.

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm các cặp vectơ bằng nhau và các cặp vectơ đối nhau.

Hướng dẫn giải

+ Các cặp vectơ bằng nhau:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành)

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng hướng và hai vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$.

Tương tự, vì ABCD là hình bình hành nên ta có AD // BC và AD = BC.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và hai vectơ $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$.

Vậy ta có 4 cặp vectơ bằng nhau là: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$.

+ Các cặp vectơ đối nhau:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành)

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ ngược hướng và hai vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}$ ngược hướng.

Do đó $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}$.

Tương tự, vì ABCD là hình bình hành nên ta có AD // BC và AD = BC.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB}$ ngược hướng và hai vectơ $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC}$ ngược hướng.

Do đó $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$.

Vậy ta có 4 cặp vectơ đối nhau là: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$.

4. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 cm. Gọi H là trung điểm của AB.

a) Tìm vectơ-không trong số các vectơ sau: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BB},\overrightarrow{HH},\overrightarrow{HB},\overrightarrow{AA}$.

b) Dùng kí hiệu $\overrightarrow{0}$để biểu diễn các vectơ-không đó.

c) Tính độ dài các vectơ ở câu a.

Hướng dẫn giải

a) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Do đó các vectơ-không là: $\overrightarrow{BB},\overrightarrow{HH},\overrightarrow{AA}$.

b) Ta viết $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{HH}=\overrightarrow{AA}$.

c) $\left.\overrightarrow{BB}\right|=\left.\overrightarrow{HH}\right|=\left.\overrightarrow{AA}\right|=\left.\overrightarrow{0}\right|=0$.

$\left.\overrightarrow{AB}\right|=AB=4$ (cm).

Vì H là trung điểm AB nên AH = HB = $\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$(cm).

Do đó $\left.\overrightarrow{AH}\right|$= AH = 2 (cm) và $\left.\overrightarrow{HB}\right|$= HB = 2 (cm).