Bài 4 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 4 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Lời giải:

Phần thuận: ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Do ABCD là hình hình bình hành nên AB = DC và AB // DC.

Khi đó ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và vectơ $\overrightarrow{DC}$cùng hướng.

Mà AB = DC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Phần đảo: Tứ giác ABCD có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$thì ABCD là hình bình hành.

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{DC}$là đường thẳng DC.

Do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$nên đường thẳng AB và đường thẳng DC song song hoặc trùng nhau.

Do A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ giác nên hai đường thẳng AB và DC không trùng nhau.

Do đó đường thẳng AB và đường thẳng DC song song với nhau.

Mà $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$nên $\left.\overrightarrow{AB}\right|=\left.\overrightarrow{DC}\right|$hay AB = CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.