Anonymous

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Tích vô hướng của hai vectơ

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1). Tính góc IDC

a) Tính $\hat{I D C}$ .

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\vec{I B}$ và $\vec{A B}$ .

Lời giải:

a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC $⊥$ BC tại I.

Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.

Khi đó $\hat{I D C}$ = 45^o.

b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ $\vec{D I}$ .

Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ $\vec{D C}$ .

c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{I B}$ là vectơ $\vec{D I}$ .

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{A B}$ là vectơ $\vec{D C}$ .

Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: $(\vec{A B}, \vec{A C}), (\vec{A B}, \vec{B C}), (\vec{A H}, \vec{B C}), (\vec{B H}, \vec{B C})$ , $(\vec{H B}, \vec{B C})$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Dựng hình bình hành ABCD.

Do tam giác ABC đều nên $\hat{B A C}$ = 60^o, do đó $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = 60^o.

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D})$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\hat{A B C} + \hat{B A D} = 180 °$ .

Do đó $\hat{B A D} = 180 ° - \hat{A B C}$ = 180^o - 60^o = 120^o.

Khi đó $(\vec{A B}, \vec{A D})$ = 120^o hay $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = 120^o.

Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.

Do đó AH $⊥$ BC nên $(\vec{A H}, \vec{B C})$ = 90^o.

Hai vectơ $\vec{B H}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $(\vec{B H}, \vec{B C})$ = 0^o.

Hai vectơ $\vec{H B}$ và $\vec{B C}$ ngược hướng nên $(\vec{H B}, \vec{B C})$ = 180^o.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ , biết rằng góc giữa vectơ $\vec{F}$ và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\vec{F}$ , độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ ).

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng:

$\vec{F}| . \vec{d}| . \cos (\vec{F}, \vec{d})$ = 10 . 100 . cos 45^o ≈ 707 J.

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ khoảng 707 J.

Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$ . Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB $⊥$ AC.

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$ 2AB² = 2

$\Rightarrow$ AB² = 1

$\Rightarrow$ AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0)

Tam giác vuông cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ = 45^o.

Ta có $\vec{A C} . \vec{B C} = - \vec{C A} . (- \vec{C B}) = \vec{C A} . \vec{C B}$ .

$\vec{C A} . \vec{C B} = \vec{C A}| . \vec{C B}| . \cos (\vec{C A} . \vec{C B})$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\hat{A C B}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\vec{A C} . \vec{B C}$ = 1.

$\vec{B A} . \vec{B C} = \vec{B A}| . \vec{B C}| . \cos (\vec{B A}, \vec{B C})$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\hat{A B C}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\vec{B A} . \vec{B C}$ = 1.

Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12 \sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Lời giải:

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = \vec{a}| . \vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 12 \sqrt{2}$

$\Rightarrow$ 3 . 8 . $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = 12 \sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b})$ = 45^o.

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 45°.

Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\vec{F}$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Lời giải:

Do vật dịch chuyển cùng hướng với $\vec{F}$ nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và $\vec{F}$ bằng 0^o.

Khi đó công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng:

20 . 50 . cos 0^o = 1 000 J.

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng 1 000 J.

3. Tính chất của tích vô hướng

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải:

Do hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc nên $\vec{i} . \vec{j} = \vec{i}| . \vec{j}| c o s 90 ° = 0$ .

a) Ta có ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {\vec{i}|}^{2} + 2 \vec{i}| . \vec{j}| . c o s 90 ° + {\vec{j}|}^{2}$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${(\vec{i} - \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {\vec{i}|}^{2} - 2 \vec{i}| . \vec{j}| . c o s 90 ° + {\vec{j}|}^{2}$ = 1² - 2 . 0 + 1² = 2.

$(\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = {\vec{i}}^{2} - {\vec{j}}^{2}$ = ${\vec{i}|}^{2} - {\vec{j}|}^{2}$ = 1² - 1² = 0.

b) $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} = 2 (\vec{i} + \vec{j})$ ; $\vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j} = 3 (\vec{i} - \vec{j})$ .

Do đó $\vec{a} . \vec{b} = 2 (\vec{i} + \vec{j}) .3 (\vec{i} - \vec{j}) = 6 (\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j})$ = 6 . 0 = 0.

Khi đó cos $(\vec{a}, \vec{b})$ = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{\vec{a}| . \vec{b}|}$ = 0 (do $\vec{a}|$ > 0 và $\vec{b}|$ > 0).

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b})$ = 90^o.

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết OSO gần bằng 120 độ

Lời giải:

Do $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ nên $\vec{μ}| = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}|$ .

Ta có ${\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}|}^{2} = {(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = {\vec{μ_{1}}}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {\vec{μ_{2}}}^{2}$

$= 1, 6^{2} + 2 \vec{μ_{1}}| . \vec{μ_{2}}| . \cos (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) + 1, 6^{2}$

= 1,6² + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120^o + 1,6²

= 2,56

Do đó $\vec{μ}| = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}| = \sqrt{2, 56}$ = 1,6.

Vậy độ dài của $\vec{μ}$ bằng 1,6 đơn vị.

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A D}$ , $\vec{A B} . \vec{A C}$ , $\vec{A C} . \vec{CB}$ , $\vec{A C} . \vec{BD}$ .

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: vectơ AB . vectơAD, vectơ AB . vectơAC

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên

AC = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2} a$ .

Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = $\sqrt{2} a$ .

Vì AB $⊥$ AD nên $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ ⇒ $\vec{A B} . \vec{A D}$ = 0.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\hat{B A C} = \hat{B C A}$ = 45^o.

$\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B}| . \vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ = a . $\sqrt{2} a$ . cos $\hat{B A C}$ = $\sqrt{2}$ a² . cos 45^o = a².

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C}$ = a².

$\vec{A C} . \vec{CB} = - \vec{C A} . \vec{CB} = - \vec{C A}| . \vec{C B}| . \cos (\vec{C A}, \vec{CB})$

= - $\sqrt{2} a$ . a . cos $\hat{B C A}$ = $- \sqrt{2}$ a² . cos 45^o = -a².

Do đó $\vec{A C} . \vec{CB}$ = -a².

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Do đó $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ nên $\vec{A C} . \vec{B D} =$ 0.

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.

Do đó AC = $\sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = \sqrt{5} a$ (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.

Do đó AO = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{\sqrt{5} a}{2}$ .

Tam giác ABC vuông tại B nên $cos \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{\sqrt{5} a} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

$\vec{A B} . \vec{A O} = \vec{A B}| . \vec{A O}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A O})$ = 2a . $\frac{\sqrt{5} a}{2}$ . cos $\hat{B A O}$ = = 2a . $\frac{\sqrt{5} a}{2}$ . $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = 2a².

Vậy $\vec{A B} . \vec{A O} = 2 a^{2}$ .

b) Do AB $⊥$ AD nên $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ do đó $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ .

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng.

Do đó $(\vec{O A}, \vec{O B})$ = 0^o.

Khi đó $\vec{O A} . \vec{O B} = \vec{O A}| . \vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B})$ = a . b . cos 0^o = a.b.

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng.

Do đó $(\vec{O A}, \vec{O B})$ = 180^o.

Khi đó $\vec{O A} . \vec{O B} = \vec{O A}| . \vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B})$ = a . b . cos 180^o = -a.b.

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do O là trung điểm của AB nên $- \vec{O A} = \vec{O B}$ .

Khi đó $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} + \vec{O B}) = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} - \vec{O A})$

$= {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$ = MO² - OA².

Vậy $\vec{M A} . \vec{M B}$ = MO² - OA².

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\vec{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng: $\vec{F} . \vec{d} = \vec{F}| . \vec{d}| . c o s (\vec{F}, \vec{d}) =$ 90 . 100 . cos 60^o = 4 500 J.

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng 4 500 J.

Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Gọi hai vectơ đó lần lượt là $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Khi đó ta có $\vec{a} . \vec{b} = \vec{a}| . \vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ = -6.

$\Rightarrow$ 3 . 4 . $\cos (\vec{a}, \vec{b})$ = -6

$\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{- 1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b})$ = 120^o.

Vậy góc giữa hai vectơ đó bằng 120^o.

Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ- Chân trời sáng tạo

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ .

Góc $\hat{A O B}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 90 °$ thì ta nói rằng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ .

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\vec{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\vec{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ hoặc $\vec{b}$ là $\vec{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và $\hat{B A D} = 60 °$ . Tính số đo các góc:

a) $(\vec{O D}, \vec{C D})$ .

b) $(\vec{O B}, \vec{A O})$ .

c) $(\vec{O C}, \vec{A C})$ .

d) $(\vec{O A}, \vec{A C})$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).

Suy ra OD = BO.

Mà $\vec{O D}, \vec{B O}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{O D} = \vec{B O}$ (1).

Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.

Mà $\vec{C D}, \vec{B A}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{C D} = \vec{B A}$ (2).

Từ (1) (2), ta suy ra $(\vec{O D}, \vec{C D}) = (\vec{B O}, \vec{B A}) = \hat{O B A}$ .

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\hat{B A D} = 60 °$ .

Suy ra tam giác ABD đều.

Do đó $\hat{D B A} = 60 °$ hay $\hat{O B A} = 60 °$ .

Vậy $(\vec{O D}, \vec{C D}) = \hat{O B A} = 60 °$ .

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).

Do đó AO = OC.

Mà $\vec{A O}, \vec{O C}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{A O} = \vec{O C}$ .

Ta suy ra $(\vec{O B}, \vec{A O}) = (\vec{O B}, \vec{O C}) = \hat{B O C}$ .

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó $\hat{B O C} = 90 °$ .

Vậy $(\vec{O B}, \vec{A O}) = \hat{B O C} = 90 °$ .

c) Vì $\vec{O C}, \vec{A C}$ cùng hướng nên $(\vec{O C}, \vec{A C}) = 0 °$ .

d) Vì $\vec{O A}, \vec{A C}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{A C}) = 180 °$ .

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ .

Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ , được xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = \vec{a}| . \vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $\vec{0}$ , ta quy ước $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

b) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

c) Khi $\vec{a} = \vec{b}$ thì tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ được kí hiệu là ${\vec{a}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a}$ .

Ta có ${\vec{a}}^{2} = \vec{a}| . \vec{a}| . \cos 0 ° = {\vec{a}|}^{2}$ . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ .

- Vẽ $\vec{B D} = \vec{A C}$ . Khi đó ta có $(\vec{A C}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{C B D}$ .

Vì $\vec{B D} = \vec{A C}$ nên ta có ABDC là hình bình hành.

Mà $\hat{B A C} = 90 °$ và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Do đó ABDC là hình vuông.

Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của $\hat{A B D}$ .

Do đó $\hat{C B D} = \frac{\hat{A B D}}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Khi đó ta có $(\vec{A C}, \vec{B C}) = \hat{C B D} = 45 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ BC² = a² + a² = 2a²

⇒ BC = $a \sqrt{2}$ .

Ta có: $\vec{A C} . \vec{B C} = \vec{A C} .| . \vec{B C}| . \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = A C . B C . \cos 45 ° = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

- Tam giác ABC cân tại A. Ta suy ra $\hat{A C B} = \hat{A B C}$ .

Tam giác ABC vuông tại A: $\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 °$ .

$\Leftrightarrow 2 \hat{A B C} = 90 °$ .

Do đó $\hat{A B C} = 45 °$ .

Suy ra $(\vec{B A}, \vec{B C}) = \hat{A B C} = 45 °$ .

Ta có $\vec{B A} . \vec{B C} = \vec{B A}| . \vec{B C}| . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = B A . B C . \cos 45 ° = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của $\vec{F}$ và $\vec{d}$ biểu diễn công A sinh bởi lực $\vec{F}$ khi thực hiện độ dịch chuyển $\vec{d}$ . Ta có công thức: $A = \vec{F} . \vec{d}$ .

Ví dụ: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi thùng gỗ trượt được 40 m.

Hướng dẫn giải

Gọi A, $\vec{d}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ và độ dịch chuyển của thùng gỗ.

Theo đề, ta có lực $\vec{F}$ hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.

Suy ra $(\vec{F}, \vec{d}) = 45 °$ .

Ta có A = $\vec{F} . \vec{d} = \vec{F}| . \vec{d}| . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 150.40. \cos 45 ° = 3000 \sqrt{2}$ (J).

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $3000 \sqrt{2}$ (J).

3. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a}$ ; $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$ ; $(k \vec{a}) . \vec{b} = k (\vec{a} . \vec{b}) = \vec{a} . (k \vec{b})$ .

Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{b} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .