Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2;{\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2;\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Do hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$vuông góc nên $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\left.\overrightarrow{i}\right|.\left.\overrightarrow{j}\right|cos90°=0$.

a) Ta có ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2+2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left.\overrightarrow{i}\right|}^2+2\left.\overrightarrow{i}\right|.\left.\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left.\overrightarrow{j}\right|}^2$

= 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2-2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left.\overrightarrow{i}\right|}^2-2\left.\overrightarrow{i}\right|.\left.\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left.\overrightarrow{j}\right|}^2$= 1² - 2 . 0 + 1² = 2.

$\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)={\overrightarrow{i}}^2-{\overrightarrow{j}}^2$=${\left.\overrightarrow{i}\right|}^2-{\left.\overrightarrow{j}\right|}^2$= 1² - 1² = 0.

b) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)$; $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}=3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)=6\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$= 6 . 0 = 0.

Khi đó cos $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$= $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|}$= 0 (do $\left.\overrightarrow{a}\right|$> 0 và $\left.\overrightarrow{b}\right|$> 0).

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$= 90^o.