Anonymous

Giải Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tích của một số với một vectơ

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Hoạt động khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10 Tập 1: Cho vectơ $\vec{a}$ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a} + \vec{a}, (- \vec{a}) + (- \vec{a})$ (Hình 1).

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Vectơ $\vec{a} + \vec{a}$ có hướng từ A sang C.

Vectơ $(- \vec{a}) + (- \vec{a})$ có hướng từ D sang F.

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và một điểm M như Hình 3.

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Hãy vẽ các vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $3 \vec{b}|, - 3 \vec{b}|, 2 \vec{a} + 2 \vec{b}|$ .

Lời giải:

a) Ta thấy 3 > 0 nên hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{a}$ cùng hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a.

Trên đường thẳng d, về bên phải điểm M chọn điểm N sao cho MN = 6.

Khi đó $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ .

Do -3 < 0 nên hai vectơ $\vec{M P}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng c song song với đường thẳng b.

Trên đường thẳng c, về bên trái điểm M chọn P sao cho MP = 3.

Khi đó $\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ .

Ta có hình vẽ như sau:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Ta thấy MP là độ dài cạnh huyền của 1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 3.

Do đó MP = $\sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Ta thấy $3 \vec{b}$ và $- 3 \vec{b}$ là hai vectơ đối nên $3 \vec{b}| = - 3 \vec{b}| = \vec{M P}| = 3 \sqrt{2}$ .

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta thấy $\vec{b} + \vec{a}|$ là độ cạnh huyền của 1 tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là 1 và 3.

Khi đó $\vec{b} + \vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$ .

Do đó $2 \vec{b} + 2 \vec{a}| = 2 \vec{a} + 2 \vec{b}| = 2 \sqrt{10}$ .

Vậy $3 \vec{b}| = - 3 \vec{b}| = 3 \sqrt{2}$ ; $2 \vec{a} + 2 \vec{b}| = 2 \sqrt{10}$ .

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$ hay $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Phần đảo: Tam giác ABC có $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Rightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G D}$ .

Mà $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ hay $\vec{G A} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{G A} = - \vec{G D}$ .

Khi đó $\vec{G A}| = - \vec{G D}|$ hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = $\frac{1}{2}$ GD = $\frac{1}{2}$ GA.

GI = $\frac{1}{2}$ GA nên AI = GI + GA = $\frac{1}{2}$ GA + GA = $\frac{3}{2}$ GA hay AG = $\frac{2}{3}$ AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = $\frac{2}{3}$ AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tàu A.

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $\vec{b}| = 50; \vec{a}| = 20$ .

$\Rightarrow \vec{b}| = \frac{5}{2} \vec{a}|$ .

Vậy $\vec{b} = \frac{- 5}{2} \vec{a}$ .

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hoạt động khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ và cho $\vec{c} = \frac{\vec{a}|}{\vec{b}|} . \vec{b}$ . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ .

Lời giải:

Ta thấy với $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ thì $\frac{\vec{a}|}{\vec{b}|}$ ≥ 0.

Do đó hai vectơ $\vec{c}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng.

Mà $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng khi hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng; hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ ngược hướng khi hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Do $\vec{c} = \frac{\vec{a}|}{\vec{b}|} . \vec{b}$ nên $\vec{c}| = \frac{\vec{a}|}{\vec{b}|} . \vec{b}| = \frac{\vec{a}|}{\vec{b}|} . \vec{b}| = \vec{a}|$ .

Do đó độ dài của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ bằng nhau.

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

Lời giải:

Do I là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G I}$ .

Do J là trung điểm của CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G J}$ .

Do đó $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G I} + 2 \vec{G J}$ hay $\vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0}$ .

Do $\vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0}$ nên G là trung điểm của IJ.

Vậy I, G, J thẳng hàng.

Bài tập

Giải Toán 10trang 97Tập 1

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo nên OA = OC, OB = OD.

Khi đó $\vec{O A}$ và $\vec{O C}$ là hai vectơ đối, $\vec{O B}$ và $\vec{O D}$ là hai vectơ đối.

Do đó $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Ta có

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O C} + \vec{M O} + \vec{O D}$

$= 4 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

$= 4 \vec{M O}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ .

b) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Do đó $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A C} = \vec{A C} + \vec{A C}$ hay $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ ;

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Do M là trung điểm của AB nên $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M}$ .

Do đó $\vec{A O} + \vec{B O} = 2 \vec{M O}$ .

Do N là trung điểm của CD nên $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O N}$ .

Do đó $\vec{A O} + \vec{B O} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{M O} + 2 \vec{O N}$ .

hay $\vec{A O} + \vec{O C} + \vec{B O} + \vec{O D} = 2 \vec{M N}$ .

Do đó $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ .

b) Ta có $\vec{A D} = \vec{A C} + \vec{C D}$

Do đó

$\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B C} + \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A C} + (\vec{B C} + \vec{C D}) = \vec{A C} + \vec{B D}$ .

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Do $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$ nên $\vec{M A} = - 4 \vec{M B}$ do đó $\vec{M A}| = - 4| \vec{M B}| = 4 \vec{M B}|$ hay MA = 4MB.

Ta thấy -4 < 0 nên hai vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm M.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm M và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm M thỏa mãn MA = 4MB.

Ta có hình vẽ như sau:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Lời giải:

Do E là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G E}$ .

Do F là trung điểm của CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G F}$ .

Do G là trung điểm của EF nên $\vec{G E} + \vec{G F} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G E} + 2 \vec{G F} = 2 (\vec{G E} + \vec{G F}) = \vec{0}$ .

Ta có

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} + \vec{M G} + \vec{G D}$

$= 4 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{M G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A.

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $\vec{a}|$ = 600, $\vec{b}|$ = 800.

Do đó $\vec{b}| = \frac{800}{600} \vec{a}| = \frac{4}{3} \vec{a}|$ hay b = $\frac{4}{3}$ a.

Mà hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng nên $\vec{b} = - \frac{4}{3} \vec{a}$ .

Vậy $\vec{b} = - \frac{4}{3} \vec{a}$ .

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$ .

Lời giải:

a) Do $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ nên $\vec{O A} = - 3 \vec{O B}$ do đó $\vec{O A}| = - 3| \vec{O B}| = 3 \vec{O B}|$ hay OA = 3OB.

Ta thấy -3 < 0 nên hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm O.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm O và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm O thỏa mãn OA = 3OB.

Ta có hình vẽ như sau:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có

$\vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{M O} + \vec{O A} + 3 (\vec{M O} + \vec{O B}) = 4 \vec{M O} + \vec{O A} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{M O}$ .

Vậy $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$ .

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$ .

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$ .

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ nên hai vectơ $\vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng.

Do đó M và C nằm ở hai phía so với điểm B sao cho MB = $\frac{1}{2}$ BC.

Do $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ nên $\vec{A N} + \vec{N B} = 4 \vec{N B}$ hay $\vec{A B} = 4 \vec{N B}$ .

Do đó A và N nằm cùng phía so với điểm B sao cho NB = $\frac{1}{4}$ AB.

Do $\vec{C P} = \vec{P A}$ nên $\vec{C P} + \vec{P A} = 2 \vec{P A}$ hay $\vec{C A} = 2 \vec{P A}$ .

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A sao cho PA = $\frac{1}{2}$ CA.

Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Ta có $\vec{M N} = \vec{B N} - \vec{B M}$ .

Do $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ nên $\vec{N A} = 3 \vec{B N} \Rightarrow \vec{B N} + \vec{N A} = 4 \vec{B N}$ hay $\vec{B A} = 4 \vec{B N}$ .

Do đó $\vec{B N} = \frac{1}{4} \vec{B A}$ .

Do $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ nên $\vec{B M} = \frac{- 1}{2} \vec{B C}$ .

Do đó $\vec{M N} = \vec{B N} - \vec{B M} = \frac{1}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{B P} - \vec{B M}$ .

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A và PA = $\frac{1}{2}$ CA nên P là trung điểm của CA.

Do đó $\vec{B A} + \vec{B C} = 2 \vec{B P} \Rightarrow \vec{B P} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{B C})$ .

Do đó $\vec{M P} = \vec{B P} - \vec{B M} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{B C}) + \frac{1}{2} \vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{B A} + \vec{B C}$ .

Ta thấy $\vec{M N} = \frac{1}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ ; $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{B A} + \vec{B C}$ nên $\vec{M P} = 2 \vec{M N}$ .

Do đó M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.

Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ- Chân trời sáng tạo

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của số k với $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ .

Vectơ $k \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $k| . \vec{a}|$ .

Ta quy ước $0 \vec{a} = \vec{0}$ và $k \vec{0} = \vec{0}$ .

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2 \vec{D E}; - \frac{1}{2} \vec{C A}; - 2 \vec{E C}$ .

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng $2 \vec{D E}$ :

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với $\vec{D E}$ và có độ dài bằng 2DE.

Ta có $\vec{D E}$ cùng hướng với $\vec{A C}$ và 2DE = AC.

Do đó $2 \vec{D E} = \vec{A C}$ .

+ Vectơ bằng $- \frac{1}{2} \vec{C A}$ :

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = $\frac{1}{2} C A$ .

Vì k = $- \frac{1}{2}$ < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{C A}$ và có độ dài bằng $\frac{1}{2} C A$ .

Ta có $\vec{A F}, \vec{F C}$ ngược hướng với $\vec{C A}$ và AF = FC = $\frac{1}{2} C A$ .

Do đó $\vec{A F} = \vec{F C} = - \frac{1}{2} \vec{C A}$ .

+ Vectơ bằng $- 2 \vec{E C}$ :

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{E C}$ và có độ dài bằng 2EC.

Ta có $\vec{C B}$ ngược hướng với $\vec{E C}$ và CB = 2EC.

Do đó $\vec{C B} = - 2 \vec{E C}$ .

Tính chất:

Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ ;

+) $(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}$ ;

+) $h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$ ;

+) $1. \vec{a} = \vec{a}$ ;

+) $(- 1) . \vec{a} = - \vec{a}$ .

Ví dụ: Ta có:

a) $6 (\vec{x} + \vec{y}) = 6 \vec{x} + 6 \vec{y}$ ;

b) $(3 + x) \vec{u} = 3 \vec{u} + x \vec{u}$ ;

c) $6. (- 5 \vec{i}) = 6. (- 5)] \vec{i} = - 30 \vec{i}$ ;

d) $2 \vec{c} - 7 \vec{c} = (2 - 7) \vec{c} = - 5 \vec{c}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b} \neq \vec{0}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ .

a) Biểu diễn $\vec{M P}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{M B} = 3 \vec{M C} \Rightarrow \vec{M B}| = 3| . \vec{M C}| \Rightarrow M B = 3 M C$ .

Mà $\vec{M B}, \vec{M C}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$ AB.

Mà $\vec{A P}, \vec{A B}$ cùng hướng.

Suy ra $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{M B} = \vec{M C} + \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M B} + \vec{C A} + \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \vec{M B} = - \vec{A C} + \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Ta có

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} - \vec{M B} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ (1)

b) Ta có $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{N A} = - 3 \vec{N C}$ .

Do đó $\vec{N A}| = - 3| . \vec{N C}|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$ AC.

Mà $\vec{N A}, \vec{N C}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $A N = \frac{3}{4} A C .$

Suy ra $\vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$