Anonymous

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của số k với $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ .

Vectơ $k \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $k| . \vec{a}|$ .

Ta quy ước $0 \vec{a} = \vec{0}$ và $k \vec{0} = \vec{0}$ .

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2 \vec{D E}; - \frac{1}{2} \vec{C A}; - 2 \vec{E C}$ .

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng $2 \vec{D E}$ :

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với $\vec{D E}$ và có độ dài bằng 2DE.

Ta có $\vec{D E}$ cùng hướng với $\vec{A C}$ và 2DE = AC.

Do đó $2 \vec{D E} = \vec{A C}$ .

+ Vectơ bằng $- \frac{1}{2} \vec{C A}$ :

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = $\frac{1}{2} C A$ .

Vì k = $- \frac{1}{2}$ < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{C A}$ và có độ dài bằng $\frac{1}{2} C A$ .

Ta có $\vec{A F}, \vec{F C}$ ngược hướng với $\vec{C A}$ và AF = FC = $\frac{1}{2} C A$ .

Do đó $\vec{A F} = \vec{F C} = - \frac{1}{2} \vec{C A}$ .

+ Vectơ bằng $- 2 \vec{E C}$ :

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{E C}$ và có độ dài bằng 2EC.

Ta có $\vec{C B}$ ngược hướng với $\vec{E C}$ và CB = 2EC.

Do đó $\vec{C B} = - 2 \vec{E C}$ .

Tính chất:

Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ ;

+) $(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}$ ;

+) $h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$ ;

+) $1. \vec{a} = \vec{a}$ ;

+) $(- 1) . \vec{a} = - \vec{a}$ .

Ví dụ: Ta có:

a) $6 (\vec{x} + \vec{y}) = 6 \vec{x} + 6 \vec{y}$ ;

b) $(3 + x) \vec{u} = 3 \vec{u} + x \vec{u}$ ;

c) $6. (- 5 \vec{i}) = 6. (- 5)] \vec{i} = - 30 \vec{i}$ ;

d) $2 \vec{c} - 7 \vec{c} = (2 - 7) \vec{c} = - 5 \vec{c}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b} \neq \vec{0}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ .

a) Biểu diễn $\vec{M P}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{M B} = 3 \vec{M C} \Rightarrow \vec{M B}| = 3| . \vec{M C}| \Rightarrow M B = 3 M C$ .

Mà $\vec{M B}, \vec{M C}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$ AB.

Mà $\vec{A P}, \vec{A B}$ cùng hướng.

Suy ra $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{M B} = \vec{M C} + \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M B} + \vec{C A} + \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \vec{M B} = - \vec{A C} + \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Ta có

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} - \vec{M B} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ (1)

b) Ta có $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{N A} = - 3 \vec{N C}$ .

Do đó $\vec{N A}| = - 3| . \vec{N C}|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$ AC.

Mà $\vec{N A}, \vec{N C}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $A N = \frac{3}{4} A C .$

Suy ra $\vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C} .$ (2)

c) Từ (1), ta suy ra $2 \vec{M P} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C}$ .

Từ (2), ta suy ra $4 \vec{M N} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C}$ .

Do đó ta có $2 \vec{M P} = 4 \vec{M N}$ hay $\vec{M P} = 2 \vec{M N}$ .

Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O E}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và $\vec{O D} + \vec{O C} = \vec{O F}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O E} + \vec{O F}$

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF.

Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF

Suy ra $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ $\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Bài 2.Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

Hướng dẫn giải

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A E}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\vec{A E} = 2 \vec{A M}$ (M là trung điểm của AE)

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} \Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

Xét hình bình hành ABCD có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + (\vec{A B} + \vec{A D})}{2} = \frac{\vec{A B} + \vec{A B} + \vec{A D}}{2}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{2 \vec{A B} + \vec{A D}}{2} = \frac{2 \vec{A B}}{2} + \frac{\vec{A D}}{2} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

Vậy $\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} .$

Bài 3. Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + 2 (\vec{M G} + \vec{G C}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + 2 \vec{M G} + 2 \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{M G} + 2 \vec{M G}) + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} + \vec{G C} = \vec{0}$ (vì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} = - \vec{G C}$

$\Leftrightarrow - 4 \vec{G M} = - \vec{G C}$

$\Leftrightarrow \vec{G M} = \frac{1}{4} \vec{G C}$

Do đó vecto $\vec{G M}$ cùng hướngvới vecto $\vec{G C}$ và $G M = \frac{1}{4} G C .$

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho $G M = \frac{1}{4} G C .$

b) Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M B}) + 2 (\vec{O M} + \vec{M C})$

$= \vec{O M} + \vec{M A} + \vec{O M} + \vec{M B} + 2 \vec{O M} + 2 \vec{M C}$

$= (\vec{O M} + \vec{O M} + 2 \vec{O M}) + (\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C})$

$= 4 \vec{O M} + \vec{0}$ (vì $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ )

$= 4 \vec{O M}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

▸Lý thuyết Bài tập cuối chương 5

▸Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số

▸Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

▸Lý thuyết Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Write your answer here

Popular Tags

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: 2DE→;−12CA→;−2EC→.

Hướng dẫn giải

Tính chất:

Ví dụ: Ta có:

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA→+MB→+MC→=3MG→.

Hướng dẫn giải

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để AB→=kAC→.

Chú ý: Cho hai vectơ a→và b→không cùng phương. Với mỗi c→luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho c→=ma→+nb→.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho MB→=3MC→, NA→+3NC→=0→, PA→+PB→=0→.

Hướng dẫn giải

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng OA→+OB→+OC→+OD→=0→.

Hướng dẫn giải

Bài 2.Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị AM→theo hai vecto AB→và AD→.

Hướng dẫn giải

Bài 3. Cho tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Bài tập liên quan

Write your answer here

Top Questions

Popular Tags

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2 \vec{D E}; - \frac{1}{2} \vec{C A}; - 2 \vec{E C}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ .

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Bài 2.Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$