Lý thuyết Hàm số và đồ thị – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

- Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý:

+ Ta thường dùng kí hiệu f(x) để chỉ giá trị y tương ứng với x, nên hàm số còn được viết là y = f(x).

+ Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

+ Một hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức.

Ví dụ:

+ Hàm số có thể được cho bằng bảng dưới đây:

Với mỗi lượng điện tiêu thụ (kWh) thì sẽ có một số tiền phải trả tương ứng (nghìn đồng). Ta nói bảng trên biểu thị một hàm số.

+ Hàm số có thể được cho bằng công thức, ví dụ như: y = 2x – 1, y = x², …. với biến số là x và y là hàm số của x.

+ Hàm số được cho bởi hai công thức như $f\left(x\right)=\begin{array}{l}-2x+1khix\le -3\\ \frac{x+7}{2}khix>-3\end{array}.$Nghĩa là với x ≤ ‒3 thì f(x) = ‒2x + 1, với x > ‒3 thì $f\left(x\right)=\frac{x+7}{2}$

+ Với hàm số y = f(x) = $\frac{x+1}{x-2}$, tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa tức là $\frac{x+1}{x-2}$có nghĩa, hay x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = ℝ\{2}.

2. Đồ thị hàm số

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Chú ý: Điểm M(x_M; y_M) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi x_M ∈ D và y_M = f(x_M).

Ví dụ:

+ Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 có tập xác định D = ℝ.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x – 1.

Khi thay x = 0 và y = ‒1 vào hàm số, ta được ‒1 = 2. 0 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm A(0; ‒1) là điểm thuộc đồ thị (C).

Khi thay x = 0,5 và y = 0 vào hàm số, ta được 0 = 2. 0,5 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm B(0,5; 0) là điểm thuộc đồ thị (C).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

- Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Nhận xét:

+ Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ:

+ Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = 2.1 – 1 = 1.

f(x₂) = f(2) = 2.2 – 1 = 3.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.

+ Cho hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 xác định trên ℝ.

Xét 2 giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒1 + 2 = 1.

f(x₂) = f(2) = ‒ 2 + 2 = 0.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [‒3; 3] và có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị nhận thấy:

- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải trên các khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3);

- Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (‒1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒1; 1).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$;

b) $f\left(x\right)=1+\frac{1}{x+3}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$có nghĩa ⇔ 2x + 1 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ ‒ 1 ⇔ x ≥ $-\frac{1}{2}$.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D = $\left.-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

b) Biểu thức $f\left(x\right)=1+\frac{1}{x+3}$có nghĩa ⇔ x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ ‒3.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D = ℝ\ {‒3}.

Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = f(x) = ‒ 2x + 2.

b) y = f(x) = x² (trên khoảng (0;$+\infty$)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒2. 1 + 2 = 0.

f(x₂) = f(2) = ‒2. 2 + 2 = ‒2.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

b) Hàm số y = f(x) = x² xác định trên khoảng (0; +∞).

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc khoảng (0; +∞), ta có:

f(x₁) = f(1) = 1² = 1.

f(x₂) = f(2) = 2² = 4.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = x² là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 3. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số:

y = f(x) = |2x + 3|.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Ta có: y = |2x + 3| =$\begin{array}{l}2\text{x}+3khi\text{x}\ge -\frac{3}{2}\\ -2\text{x}-3khi\text{x <}-\frac{3}{2}\end{array}$

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với $\text{x}\ge -\frac{3}{2}$(d₁)

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với $\text{x}\ge -\frac{3}{2}$là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm A(‒ $\frac{3}{2}$; 0) và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - 3 với x < -$\frac{3}{2}$ là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(-2; 1) và D(-3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với đoạn đường AB = s (km). Ô tô di chuyển thẳng đều với vận tốc là 40 km/h. Gọi mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu xuất phát từ A, t là thời điểm ô tô đi ở vị trí bất kì trên đoạn AB. Hãy xác định hàm số biểu thị mối quan hệ giữa s và t, vẽ đồ thị hàm số đó và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Do thời gian luôn lớn hơn 0 nên tập xác định của hàm số ẩn t là D = (0; +∞)

Ta có công thức: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.

Ta có hàm số như sau: s = v. t = 40. t

Vẽ đồ thị hàm số s = 40t:

Ta có bảng sau:

Vậy các điểm có tọa độ (0,5; 20), (1; 40), (1,5; 60) thuộc đồ thị hàm số s = f(t).

Ta có đồ thị như sau:

Ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên đây là hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Nhận xét: Trong di chuyển thẳng đều, thời gian luôn tỉ lệ thuận với quãng đường. Thời gian càng lâu thì quãng đường đi được càng lớn và ngược lại.