Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB},\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$.

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$.

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$và $\overrightarrow{BC}$cùng hướng.

Do đó M và C nằm ở hai phía so với điểm B sao cho MB = $\frac{1}{2}$BC.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$nên $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=4\overrightarrow{NB}$hay $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{NB}$.

Do đó A và N nằm cùng phía so với điểm B sao cho NB = $\frac{1}{4}$AB.

Do $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$nên $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PA}$hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{PA}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A sao cho PA = $\frac{1}{2}$CA.

Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}$.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$nên $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{BN}\Rightarrow \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{BN}$hay $\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BN}$.

Do đó $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$nên $\overrightarrow{BM}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A và PA = $\frac{1}{2}$CA nên P là trung điểm của CA.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BP}\Rightarrow \overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Ta thấy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.