Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo nên OA = OC, OB = OD.

Khi đó $\overrightarrow{OA}$và $\overrightarrow{OC}$là hai vectơ đối, $\overrightarrow{OB}$và $\overrightarrow{OD}$là hai vectơ đối.

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Ta có

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}$

$=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=4\overrightarrow{MO}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=4\overrightarrow{MO}$.

b) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}$hay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A\text{D}}=2\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A\text{D}}=2\overrightarrow{AC}$.