Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$hay $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Phần đảo: Tam giác ABC có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{G\text{D}}$.

Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$hay $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GD}$.

Khi đó $\left.\overrightarrow{GA}\right|=\left.-\overrightarrow{G\text{D}}\right|$hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = $\frac{1}{2}$GD = $\frac{1}{2}$GA.

GI = $\frac{1}{2}$GA nên AI = GI + GA = $\frac{1}{2}$GA + GA = $\frac{3}{2}$GA hay AG = $\frac{2}{3}$AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = $\frac{2}{3}$AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.