Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$;

b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$.

Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=2\overrightarrow{MO}$.

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{ON}$.

Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{ON}$.

hay $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}=2\overrightarrow{MN}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}}$

Do đó

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C\text{D}}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A\text{D}}$.