Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$,$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$,$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{BD}}$.

Lời giải:

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên

AC = $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$.

Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = $\sqrt{2}a$.

Vì AB $\perp$AD nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A\text{D}}$⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$= 0.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$= 45^o.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$= a . $\sqrt{2}a$. cos $\widehat{BAC}$= $\sqrt{2}$a² . cos 45^o = a².

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$= a².

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\left.\overrightarrow{CA}\right|.\left.\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$

= -$\sqrt{2}a$. a . cos $\widehat{BCA}$= $-\sqrt{2}$a² . cos 45^o = -a².

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$= -a².

Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$BD.

Do đó $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{B\text{D}}$nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B\text{D}}=$0.