Biết lim x->0 sinx/x=1. Hãy tính: a) lim x->0 sinx/x^3

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 5 trang 87

Bài 5.48 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1:Biết$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Hãy tính:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}$ ;

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ ;

c) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{x^2}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x^2}$ .

Vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ > 0; $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$ và x² > 0 nên $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}=+\infty$ .

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x}$ .

Vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1>0$ ; và x > 0 nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=+\infty$ .

c) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x}$ .

Vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1>0$ ; $\underset{x\to 0-}{\lim }x=0$ và x < 0 nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=-\infty$ .