Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây

Giải SGK Toán10Chân trời sáng tạoBài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2

a) d₁: x − y + 2 = 0 và d₂: x+y+4=0

b) d₁: $\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}$và d₂: 5x−2y+9=0

c) d₁:  $\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}$và d₂: 3x+y–11=0.

Lời giải:

a) Ta có d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$= (1; −1) và $\overrightarrow{n_2}$= (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$. $\overrightarrow{n_2}$ = 1. 1 + 1. (−1) = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_1}$⊥ $\overrightarrow{n_2}$. Do đó d₁ ⊥ d₂.

Tọa độ M là giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y+4=0\end{array}$ ⇔ $\begin{array}{l}x=-3\\ y=-1\end{array}$⇒M(−3; −1).

Vậy d₁ vuông góc với d₂ và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 5) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$= (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có : $\overrightarrow{n_2}$= (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$= $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) ∈ d₁, thay tọa độ của M vào phương trình d₂, ta được:

5. 1 − 2. 3 + 9 = 0 ⇔ 8 = 0 (vô lí)

⇒ M ∉ d₂. 

Vậy d₁ // d₂.

c) Ta có $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 3) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có: $\overrightarrow{n_2}$= (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$= $\overrightarrow{n_2}$. Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) ∈ d₁, thay tọa độ của N vào phương trình d₂, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0.

⇒ N ∈ d₂.     

Vậy d₁ trùng d₂.