Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau

Giải SGK Toán10Chân trời sáng tạoBài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2

a) M(1; 2) và Δ: 3x−4y+12=0;       

b) M(4; 4) và Δ: $\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}$ ;

c) M(0; 5) và Δ: $\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}$

d) M(0; 0) và Δ: 3x+4y–25=0.

Lời giải:

a)Ta có: d(M; Δ) = $\frac{\left.3.1-4.2+12\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}$= $\frac{7}{5}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{7}{5}$.

b) Δ: $\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}$đi qua điểm O(0; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$=(1; −1) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$=(1; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó, phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$= (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0

d(M; Δ) = $\frac{\left.4+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$= $\frac{8}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{8}{\sqrt{2}}$.

c) Δ:  $\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}$đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$= (1; 0) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$= (0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$) và nhận $\overrightarrow{n}$= (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  0(x − 0) + (y + $\frac{19}{4}$) = 0⇔ y + $\frac{19}{4}$= 0.

d(M; Δ) =  $\frac{\left.5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}$= $\frac{39}{4}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{39}{4}$.

d) Đường thẳng Δ: 3x + 4y – 25 = 0 nhận $\overrightarrow{n}$= (3 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Khi đó d(M; Δ) = $\frac{\left.3.0+4.0–25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$= $\frac{25}{5}$= 5.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 5.