Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi

Giải SGK Toán10Chân trời sáng tạoBài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2

a) d đi qua điểm A(−1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1)

b) d đi qua điểm B(4; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (3; −2)

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = −2

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}$= (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận $\overrightarrow{n}$= (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{u}$= (2; 1) là vectơ chỉ phương là: $\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) −2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 11 = 0

Vậy phương trình tham số của d là  $\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}$; phương trình tổng quát của d là x − 2y + 11 = 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{n}$= (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(x − 4) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y – 16 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n}$= (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận $\overrightarrow{u}$= (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{u}$= (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: $\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x − 2y – 16 = 0; phương trình tham số là $\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}$

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + b

Vì hệ số góc k = −2 nên ta có: y = −2x + b

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = −2. 1 + b ⇒ b = 3 

⇒ Phương trình tổng quát của d là: y = −2x + 3 ⇔ 2x + y − 3 = 0.

Ta có: d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến ⇒ $\overrightarrow{u}$ = (1; −2) là vectơ chỉ phương của d.

⇒ Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$= (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + y − 3 = 0; phương trình tham số là $\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}$

d) Ta có: $\overrightarrow{QR}$= (−3; 2) là vectơ chỉ phương của d ⇒ d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{QR}$= (−3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$= (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 3) + 3(y − 0) = 0 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 6 = 0; phương trình tham số là $\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=2t\end{array}$.