Xét tính liên tục của hàm số: a) f(x)=|x+1| tại điểm x = ‒1

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 3 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left(x\right)=\mathrm{|x}+\mathrm{1|}$ tại điểm x = ‒1;

b) $g\left(x\right)=\begin{array}{ll}\frac{\left.x-1\right|}{x-1}& \text{khi }x\ne 1\\ 1& \text{khi }x=1\end{array}$ tại điểm x = 1.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ, chứa điểm ‒1.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left.x+1\right|=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=-1+1=0$

⦁ $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left.x+1\right|=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left.-\left(x+1\right)\right]$$=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(-x-1\right)=1-1=0$

⦁ $f\left(-1\right)=\left.-1+1\right|=0$

Suy ra $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$

Vậy hàm số liên tục tại x = ‒1.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, có chứa điểm 1.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left.x-1\right|}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }1=1$.

⦁ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left.x-1\right|}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1-x}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = ‒1.