Cho hàm số f(x)= căn x+2 -2/x-2 khi x khác 2; f(x)=a khi x=2

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 4 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}& \text{ khi }x\ne 2\\ a& \text{ khi }x=2.\end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{x+2-4}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}=\frac{1}{4}.$

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff \frac{1}{4}=a$.

Vậy $a=\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.