Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 12 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$.

Kí hiệu diện tích tam giác ABC là S(α) (phụ thuộc vào α). Xét tính liên tục của hàm số S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và tính các giới hạn $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right),\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại C nên với $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ta có:

⦁ AC = AB.cosα = 2cosα;

⦁ BC = AB.sinα = 2sinα;

⦁ $S\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}=\frac{1}{2}\cdot 2\text{cos}\alpha \cdot 2\text{sin}\alpha =\text{sin}2\alpha$.

Do hàm số y = sin2α đều liên tục trên ℝ, mà $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\subset ℝ$ nên hàm số y = S(α) liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Khi đó:

+) $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\text{sin}2\alpha =0;$

+) $\underset{\alpha \to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\text{lim}}\text{sin}2\alpha =0.$