Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1:Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng$\frac{2}{3}$độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_nlà độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là u₁ = $\frac{2}{3}\cdot 5$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_2=\frac{2}{3}{u}_1=\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 5\right)=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_3=\frac{2}{3}{u}_2=\frac{2}{3}\cdot \left(5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3$ và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là $u_n=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ .

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ , do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ , suy ra điều phải chứng minh.