Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1:Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$và$\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n^2=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.u_n\right)=2.2=4$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-u_n\right)=3-2=1$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}=\frac{4}{1}=4$.

b) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }2=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2v_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2.v_n\right)=2.3=6$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=2+6=8$.

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=8>0$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.