Toán 11 Bài 8 (Kết nối tri thức): Mẫu số liệu ghép nhóm

Giải Toán 11trang 61

Vận dụng trang 61 Toán 11 Tập 1: Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:

Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của 36 học sinh nam khối 11 của một trường và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị là centimét):

a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.

b) Công ty may 500 áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?

Lời giải:

a) Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta lập được bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên như sau:

b) Công ty may 500 áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ như sau:

- Không nên may áo cỡ S và cỡ XXL;

- Số lượng áo cỡ M nên may là $\frac{22}{36}.500\approx 306$ (chiếc);

- Số lượng áo cỡ L nên may là $\frac{8}{36}.500\approx 111$ (chiếc);

- Số lượng áo cỡ XL nên may là 500 – 306 – 111 = 83 (chiếc).

Bài tập

Bài 3.1 trang 61 Toán 11 Tập 1: Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.

a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.

b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày, ta có bảng số liệu sau:

Lời giải:

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.

Mẫu số liệu này mô tả về số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng, gồm có 5 nhóm. Cụ thể:

- Nhóm thanh toán với số tiền từ 0 đến dưới 50 nghìn đồng, có 5 sinh viên;

- Nhóm thanh toán với số tiền từ 50 đến dưới 100 nghìn đồng, có 12 sinh viên;

- Nhóm thanh toán với số tiền từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng, có 23 sinh viên;

- Nhóm thanh toán với số tiền từ 150 đến dưới 200 nghìn đồng, có 17 sinh viên;

- Nhóm thanh toán với số tiền từ 200 đến dưới 250 nghìn đồng, có 3 sinh viên;

b) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.

Mẫu số liệu này mô tả về nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày, gồm 4 nhóm nhiệt độ: từ 19 °C đến dưới 22 °C; từ 22 °C đến dưới 25 °C; từ 25 °C đến dưới 28 °C; từ 28 °C đến dưới 31 °C. Cụ thể:

- Có 7 ngày có nhiệt độ từ 19 °C đến dưới 22 °C;

- Có 15 ngày có nhiệt độ từ 22 °C đến dưới 25 °C;

- Có 12 ngày có nhiệt độ từ 25 °C đến dưới 28 °C;

- Có 6 ngày có nhiệt độ từ 28 °C đến dưới 31 °C.

Bài 3.2 trang 61 Toán 11 Tập 1: Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau:

Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 5, giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 54, do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 54 – 5 = 49. Ta cần chia thành sáu nhóm với độ dài bằng nhau. Để cho thuận tiện, ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 3 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng bằng 57 và độ dài của mỗi nhóm bằng 9 ta được các nhóm là [3; 12), [12; 21), [21; 30), [30; 39), [39; 48), [48; 57). Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Bài 3.3 trang 61 Toán 11 Tập 1: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau:

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 492, giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 653, do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 653 – 492 = 161. Ta cần chia thành bảy nhóm có độ dài bằng nhau. Để cho thuận tiện, ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 485 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng bằng 660 và độ dài của mỗi nhóm bằng 25 ta được các nhóm là [485; 510), [510; 535), [535; 560), [560; 585), [585; 610), [610; 635), [635; 660]. Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Thời gian	[485; 510)	[510; 535)	[535; 560)	[560; 585)	[585; 610)	[610; 635)	[635; 660]
Số cầu thủ	8	2	1	2	1	1	1

Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$.

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p.

3. Tứ phân vị của mấu số liệu ghép nhóm

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_1$, giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$. Khi đó,

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p.

Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_3$, giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$. Khi đó,

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị $M_e$.

4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: $[a_j;a_{j+1})$.

Bước 2. Mốt được xác định là: $M_o=a_j+\frac{m_j-m_{j-1}}{\left(m_j-m_{j-1}\right)+\left(m_j-m_{j+1}\right)}.h$

Trong đó, $m_j$ là tần số của nhóm j (quy ước $m_0=m_{k+1}=0$) và h là độ dài của nhóm.

• Lưu ý:

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

• Ý nghĩa:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.