Toán 11 Bài 18 (Kết nối tri thức): Lũy thừa với số mũ thực

Giải Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Giải Toán 11 trang 4 Tập 2

Mở đầu trang 4 Toán 11 Tập 2:Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thứclãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r vào mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theocông thức lãi képsau:

A = P(1 + r)^N.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Lời giải:

Sau bài học, ta giải quyết được bài toán như sau:

Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

100 ∙ (1 + 6%)³ = 119,1016 (triệu đồng).

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Giải Toán 11 trang 5 Tập 2

HĐ1 trang 5 Toán 11 Tập 2:Nhận biết lũy thừa với số mũ nguyên

Tính: (1,5)²; ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3$; ${\left(\sqrt{2}\right)}^4$.

Lời giải:

Ta có: (1,5)² = 1,5 ∙ 1,5 = 2,25.

${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3=\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{27}$.

${\left(\sqrt{2}\right)}^4=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\cdot 2=4$.

Luyện tập 1 trang 5 Toán 11 Tập 2:Một số dương x được gọi là viết dưới dạngkí hiệu khoa họcnếu x = a ∙ 10^m, ở đó 1 ≤ a < 10 và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg.

(Theo Vật lí 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020)

Lời giải:

a) Ta có 5 980 000 000 000 000 000 000 000 = 5,98 ∙ 10²⁴.

Vậy khối lượng của Trái Đất khoảng 5, 98 ∙ 10²⁴ kg.

b) Ta có 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 = 1,67262 ∙ 10^{– 27}.

Vậy khối lượng của hạt proton khoảng 1,67262 ∙ 10^{– 27} kg.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Giải Toán 11 trang 6 Tập 2

HĐ2 trang 6 Toán 11 Tập 2:Nhận biết khái niệm căn bậc n

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = − 8.

Lời giải:

a) Ta có 4 = 2² = (– 2)². Do đó, x² = 4, suy ra x² = 2² = (– 2)². Vậy x = ± 2.

b) Ta có: − 8 = (− 2)³. Do đó, x³ = − 8, suy ra x³ = (− 2)³. Vậy x = − 2.

Câu hỏi trang 6 Toán 11 Tập 2:Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Lời giải:

Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.

Luyện tập 2 trang 6 Toán 11 Tập 2:Tính:

a) $\sqrt[3]{-125}$;

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{{\left(-5\right)}^3}=-5$.

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}=\frac{1}{3}$.

HĐ3 trang 6 Toán 11 Tập 2:Nhận biết tính chất của căn bậc n

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{\left(-8\right)\cdot 27}$.

b) Tính và so sánh: $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ và $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$.

Lời giải:

a) Ta có $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3}\cdot \sqrt[3]{3^3}=\left(-2\right)\cdot 3=-6$

và $\sqrt[3]{\left(-8\right)\cdot 27}=\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3\cdot 3^3}$$=\sqrt[3]{{\left(\left(-2\right)\cdot 3\right)}^3}=\sqrt[3]{{\left(-6\right)}^3}=-6$.

Vậy $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}$ = $\sqrt[3]{\left(-8\right)\cdot 27}$.

b) Ta có $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{-2}{3}$

và $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}=\frac{-2}{3}$.

Vậy $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ = $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$.

Giải Toán 11 trang 7 Tập 2

Luyện tập 3 trang 7 Toán 11 Tập 2:Tính:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{625}$;

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{625}=\sqrt[3]{\frac{5}{625}}=\sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}=\frac{1}{5}$.

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}=\sqrt[5]{-{\left(\sqrt{5}\right)}^5}=\sqrt[5]{{\left(-\sqrt{5}\right)}^5}=-\sqrt{5}$.

HĐ4 trang 7 Toán 11 Tập 2:Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$.

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$, với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$.

Lời giải:

a) Ta có ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$, mà ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$ nên ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n$. Do đó, $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

b) Ta có $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$.

Theo câu a, ta có $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ nên $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$.

Câu hỏi trang 7 Toán 11 Tập 2:Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Lời giải:

Ta có a > 0 thì a^m > 0 với mọi số nguyên m. Khi đó luôn tồn tại căn bậc n của a^m với n là một số nguyên dương. Do đó, $\sqrt[n]{a^m}$ luôn xác định. Vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta cần điều kiện cơ số a > 0.

Luyện tập 4 trang 7 Toán 11 Tập 2:Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x,y>0\right)$.

Lời giải:

Với x, y > 0, ta có $A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{xy\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}=xy$.

3. Lũy thừa với số mũ thực

HĐ5 trang 7 Toán 11 Tập 2:Nhận biết lũy thừa với số mũ thực

Gọi (r_n) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$, với r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41;

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_1};3^{r_2};3^{r_3};3^{r_4}$ và $3^{\sqrt{2}}$.

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_n}$, tức là , khi n càng lớn?

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

$3^{r_1}=3^1=3$;

$3^{r_2}=3^{1,4}=4,655536722$;

$3^{r_3}=3^{1,41}=4,706965002$;

$3^{r_4}=3^{1,4142}=4,72873393$;

$3^{\sqrt{2}}=4,728804388$.

b) Ta có:

Vậy sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_n}$ là giảm dần khi n càng lớn.

Giải Toán 11 trang 8 Tập 2

Luyện tập 5 trang 8 Toán 11 Tập 2:Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)}^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}\left(a>0\right)$.

Lời giải:

Với a > 0, ta có $A=\frac{{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)}^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}=\frac{a^{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}}{a^{\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(3-\sqrt{5}\right)}}$$=\frac{a^{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1}}{a^2}=\frac{a^1}{a^2}=\frac{1}{a}$.

Vận dụng trang 8 Toán 11 Tập 2:Giải bài toán trongtình huống mở đầu.

Lời giải:

Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

100 ∙ (1 + 6%)³ = 119,1016 (triệu đồng).

Bài tập

Giải Toán 11 trang 9 Tập 2

Bài 6.1 trang 9 Toán 11 Tập 2:Tính:

a) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}$;

b) $4^{\frac{3}{2}}$;

c) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}$;

d) ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-0,75}$.

Lời giải:

a) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=5^2=25$.

b) $4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$.

c) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{{\left(2^3\right)}^2}=\sqrt[3]{{\left(2^2\right)}^3}=2^2=4$.

d) ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-0,75}={16}^{0,75}={16}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^3}$$=\sqrt[4]{{\left(2^4\right)}^3}=\sqrt[4]{{\left(2^3\right)}^4}=2^3=8$.

Bài 6.2 trang 9 Toán 11 Tập 2:Thực hiện phép tính:

a) ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0,75}-{25}^{0,5}$;

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot 8^{2\sqrt{7}}$.

Lời giải:

a) ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0,75}-{25}^{0,5}$

$={\left(3^3\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(3^4\right)}^{-\frac{3}{4}}-{\left(5^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

= 3² + 3^{– 3} – 5

= 9 + $\frac{1}{27}$ – 5

= $\frac{109}{27}$.

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot 8^{2\sqrt{7}}$

$={\left(2^2\right)}^{2-3\sqrt{7}}\cdot {\left(2^3\right)}^{2\sqrt{7}}$

$=2^{4-6\sqrt{7}}\cdot 2^{6\sqrt{7}}$

$=2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}=2^4=16$.

Bài 6.3 trang 9 Toán 11 Tập 2:Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}\left(x,y\ne 0\right)$;

b) $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}\left(x,y\ne 0\right)$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}=\frac{x^{5-3}}{y^{1+2}}=\frac{x^2}{y^3}$.

b) $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}\right)}^{-3}{\left(y^4\right)}^{-3}}=\frac{x^2{y}^{-3}}{x^3{y}^{-12}}$$=x^{2-3}{y}^{-3-\left(-12\right)}=x^{-1}{y}^9=\frac{y^9}{x}$.

Bài 6.4 trang 9 Toán 11 Tập 2:Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$;

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$$=\frac{x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}\left(x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}\right)}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}=x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}$.

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$$=\frac{x^{\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}}{y^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}=\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$=\frac{x^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{y^{2+\left(-2\right)}}=\frac{x^2}{y^0}=x^2$.

Bài 6.5 trang 9 Toán 11 Tập 2:Chứng minh rằng:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$.

Lời giải:

Ta có $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$=\sqrt{1+2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{1-2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}$$=\left(1+\sqrt{3}\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)=2$ (do $1-\sqrt{3}<0$).

Bài 6.6 trang 9 Toán 11 Tập 2:Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) Ta có $6\sqrt{3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$ và $3\sqrt{6}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}=\sqrt{54}$.

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108}>\sqrt{54}$ hay $6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$.

Lại có 5 > 1 nên $5^{6\sqrt{3}}$ > $5^{3\sqrt{6}}$.

b) Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}$.

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}>\frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}}>2^{\frac{7}{6}}$, tức là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Bài 6.7 trang 9 Toán 11 Tập 2:Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có P = 120, r = 5% = 0,05.

Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong một năm, tức là n = 2. Sau 2 năm thì ta được 4 lần tính lãi nên N = 4.

Vậy số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm là

$120\cdot {\left(1+\frac{0,05}{2}\right)}^4\approx 132,46$ (triệu đồng).

Bài 6.8 trang 9 Toán 11 Tập 2:Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức$A=19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$>. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Lời giải:

Thay t = 20 vào công thức $A=19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$ ta được

$A=19\cdot 2^{\frac{20}{30}}\approx 30$ (triệu người).

Vậy sau 20 năm nữa kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là khoảng 30 triệu người.

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ thực

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa

- Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:

Với a là số thực tùy ý:

Với a là số thực khác 0:

$a^0=1;a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

- Trong biểu thức $a^m$, a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.

Chú ý: $0^0$ và $0^{-n}\left(n\in \mathbb{N}\ast \right)$ không có nghĩa.

b) Tính chất

Với $a\ne 0,b\ne 0$ và m, n là các số nguyên, ta có:

$\begin{array}{l}{a}^m.a^n=a^{m+n};\\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};\\ {\left(a^m\right)}^n=a^{mn};\\ {\left(ab\right)}^m=a^m.b^m;\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}.\end{array}$

Chú ý:

- Nếu $a>1$ thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m > n.

- Nếu $0<a<1$ thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m < n.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Khái niệm căn bậc n

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu $b^n=a$.

Nhận xét: Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$ (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là $-\sqrt[n]{a}$.

Chú ý: $\sqrt[n]{0}=0\left(n\in \mathbb{N}\ast \right)$.

b) Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

c) Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó m là một số nguyên và n là một số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ r, kí hiệu là $a^r$, xác định bởi $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Lưu ý: ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$.

Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho a là số thực dương và $\alpha$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $\left(r_n\right)$ mà $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{r}_n=\alpha$. Khi đó, dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ $\left(r_n\right)$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$, kí hiệu là $a^{\alpha }$.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}^{r_n}$.

Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.