Tính các giá trị lượng giác của góc alpha nếu: a) sin alpha =-4/5 và pi< alpha<3pi/2

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 1 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:

a) $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$

b) $cos\alpha =\frac{11}{61}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$

c) $\tan \alpha =-\frac{15}{8}$ và $-90°<\alpha <90°;$

d) cotα = ‒2,4 và ‒180° < α < 0°.

* Phương pháp giải

- Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi và giải:

- Dùng công thức tanx.cotx = 1 và công thức

^{sin2α+cos2α=1}

* Lời giải

a) Ta có ${\text{cos}}^2\alpha =1-{\text{sin}}^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$. Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$ nên cosα < 0.

Do đó $\text{cos}\alpha =-\frac{3}{5}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$

b) Ta có ${\text{sin}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{11}{61}\right)}^2={\left(\frac{60}{61}\right)}^2$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$ nên sinα > 0.

Do đó $\text{sin}\alpha =\frac{60}{61}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}}=\frac{60}{11}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{60}{11}}=\frac{11}{60}.$

c) Ta có $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{-\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15};\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }=1+{\text{tan}}^2\alpha =1+{\left(-\frac{15}{8}\right)}^2=\frac{289}{64}$

Suy ra ${\text{cos}}^2\alpha =\frac{64}{289}$. Vì $-90°<\alpha <90°;$ nên $\text{cos}\alpha >0$. Do đó $\text{cos}\alpha =\frac{8}{17}.$

Suy ra $\text{sin}\alpha =\text{tan}\alpha \text{cos}\alpha =-\frac{15}{8}\cdot \frac{8}{17}=-\frac{15}{17}.$

d)

Ta có $\text{tan}\alpha =\frac{1}{\text{cot}\alpha }=\frac{1}{-\mathrm{2,4}}=-\frac{5}{12};\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }=1+{\text{cot}}^2\alpha =1+{\left(-\mathrm{2,4}\right)}^2=\frac{676}{100}$

Suy ra ${\text{sin}}^2\alpha =\frac{100}{676}$. Vì ‒180° < α < 0° nên $\text{sin}\alpha <0$. Do đó $\text{sin}\alpha =-\frac{5}{13}.$

Suy ra $\text{cos}\alpha =\text{cot}\alpha \text{sin}\alpha =-\mathrm{2,4}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{12}{13}.$

* Lý thuyết và dạng bài về giá trị lượng giác của một góc lượng giác:

+) sinα,cosαsinα,cosα$\sin \alpha ,\cos \alpha$ xác định với mọi giá trị của αα$\alpha$ và −1≤sinα≤1,−1≤cosα≤1−1≤sinα≤1,−1≤cosα≤1$-1\le \sin \alpha \le 1,-1\le \cos \alpha \le 1$.

+) tanαtanα$\tan \alpha$ được xác định khi α≠π2+kπα≠π2+kπ$\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, xác định khi α≠kπα≠kπ$\alpha \ne k\pi$

+) sinα=sin(α+k2π),cosα=cos(α+k2π)sinα=sin(α+k2π),cosα=cos(α+k2π)$\sin \alpha =\sin \left(\alpha +k2\pi \right),\cos \alpha =\cos \left(\alpha +k2\pi \right)$

+) tanα=tan(α+kπ),cotα=cot(α+kπ)

Các công thức lượng giác cơ bản:

CÁC DẠNG BÀI:

Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

Phương pháp giải:

Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

Phương pháp giải:

Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.