Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc lượng giác – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác - Chân trời sáng tạo

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trên đường tròn, lấy điểm M(x;y) như hình vẽ. Khi đó:

$x=$cos$\alpha$, $y=$sin$\alpha$.

tan$\alpha$$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$

- Các giá trị sin$\alpha$, cos$\alpha$, tan$\alpha$, cot$\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha$.

*Chú ý:

a, Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

Trục As có gốc ở điểm A(1;0) và song song với trục sin là trục tang.

Trục Bt có gốc ở điểm B(0;1) và song song với trục coossin gọi là trục côtang.

b, $\sin \alpha$và $\cos \alpha$ xác định với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$.

$\tan \alpha$xác định với các góc $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

$\cot \alpha$ xác định với các góc $\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c, Với mọi góc lượng giác $\alpha$ và số nguyên k, ta có:

$\begin{array}{l}\sin \left(\alpha +k2\pi \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\alpha +k2\pi \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(\alpha +k\pi \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\alpha +k\pi \right)=\cot \alpha \end{array}$

d, Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

- Lần lượt ấn các phím SHIFT $\to$MENU $\to$2:

Để chọn đơn vị độ: ấn phím 1 (Degree).

Để chọn đơn vị radian: ấn phím 2 (Radian).

- Ấn các phím MENU 1 để vào chế độ tính toán.

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

• Hai góc đối nhau $\alpha$và $-\alpha$

$\begin{array}{l}\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc bù nhau ($\alpha$và $\pi$-$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc phụ nhau ($\alpha$và $\frac{\pi }{2}$-$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=c\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha \\ \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha \end{array}$

• Hai góc hơn kém $\pi$(và $\pi$+$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi +\alpha \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\pi +\alpha \right)=\cot \alpha \end{array}$

B. Bài tập Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 1. Cho $\tan \alpha =\frac{3}{5}.$ Tính: $A=\frac{\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }.$

Hướng dẫn giải

Chia cả tử và mẫu của biểu thức A cho cos²α ta được:

$A=\frac{\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }=\frac{\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha -1}=-\frac{15}{16}.$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (1 – sin²α).cot²α + 1 – cot²α;

b) $B=\frac{2{\cos }^2\alpha -1}{\sin \alpha +\cos \alpha }$.

Hướng dẫn giải

a) A = (1 – sin²α).cot²α + 1 – cot²α

⇔ A = cot²α – sin²α.cot²α + 1 – cot²α

⇔ $A=1-{\sin }^2\alpha .\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }={\sin }^2\alpha .$

b) $B=\frac{2{\cos }^2\alpha -1}{\sin \alpha +\cos \alpha }$

⇔ $B=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$

⇔ B = cos α – sin α.

Bài 3. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết:

a) $\tan \alpha =-\frac{4}{5}$ biết $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi .$

b) $\cot \alpha =-\frac{19}{7}$ biết $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$

Hướng dẫn giải

a) Do $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên sin α < 0, cos α > 0, cot α < 0.

Ta có:

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }\Rightarrow \cot \alpha =-\frac{5}{4}.$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cos \alpha =-\frac{4}{5}.\frac{5}{\sqrt{41}}=-\frac{4\sqrt{41}}{41}.$

b) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0.

Ta có:

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }\Rightarrow \tan \alpha =-\frac{7}{19}.$

Mà cos α < 0 ⇒ $\cos \alpha =-\frac{19}{\sqrt{410}}.$