Lý thuyết Phép tính lũy thừa – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Phép tính lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n};a^0=1\left(n\in \mathbb{N}\ast ,a\in \mathbb{R},a\ne 0\right)$.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n\ge 2$.

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^n=b$.

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.

+ Nếu n chẵn thì:

• b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
• b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
• b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$.

+ Các tính chất:

• $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n\in \mathbb{Z},n>0$. Ta có:

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ và $\left(r_n\right)$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $lim{r}_n=\alpha$. Khi đó $a^{\alpha }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}=a^{r_n}$.

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $\alpha ;\beta$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta };\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}.\end{array}$

B. Bài tập Phép tính lũy thừa