Lý thuyết Cấp số nhân – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

A. Lý thuyết Cấp số nhân

1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:

$u_n=u_{n-1}.q,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân thì ${u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định bởi công thức

$u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

B. Bài tập Cấp số nhân

Bài 1. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và $q=\frac{1}{2}.$ Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A. $\frac{765}{256};$

B. $\frac{765}{128};$

C. $\frac{265}{756};$

D. $\frac{128}{265}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bài 2. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = 2 và u₅ = 16. Tìm q và u₁ của cấp số nhân đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• u₂ = u₁.q ⇔ 2 = u₁.q

• u₅ = u₁.q⁴ ⇔ 16 = u₁.q⁴

Khi đó $\frac{u_5}{u_2}=\frac{u_1.q^4}{u_1.q}=q^3$ ⇔ q³ = 8 ⇔ q = 2.

Do đó u₁ = 1.

Vậy q = 2 và u₁ = 1.

Bài 3. Dãy số (u_n) có u_n = 4.3n có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội?

A. q = 3;

B. q = 2;

C. q = 4;

D. q = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{4.3}^{n+1}}{{4.3}^n}=3$ không phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội q = 3.