Lý thuyết Giới hạn của dãy số – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Giới hạn 0 của dãy số

- Dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ hay $lim{u}_n=0$.

* Chú ý:

+ $lim\frac{1}{n^k}=0,k\in \mathbb{Z}.$

+ Nếu $\left|q\right|<1$ thì $lim{q}^n=0$

b, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ hay $u_n\to a$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý: Nếu $u_n=c$(c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ và c là hằng số thì

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$
• $\begin{array}{l}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(c.u_n)=c.a\\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b\end{array}$
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$
• Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội q thỏa mãn $\left|q\right|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số $\left(u_n\right)$được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý:

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-u_n)=-\mathrm{\infty }$
• Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$) thì $lim\frac{1}{u_n}=0$.
• Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0,u_n>0$và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,\mathrm{\forall }n$thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.

*Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,lim{n}^k=+\mathrm{\infty },k\in \mathbb{N},k\ge 1.\\ b,lim{q}^n=+\mathrm{\infty };q\in \mathbb{R},q>1.\end{array}$

B. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{-3}{5}$ và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u₁ = 1.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{5}{8}$.

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \left(2n^3+n^2-4n-13\right)$ ;

b) $\lim \left(4.2^n-2.3^n+13n\right)$ .

Hướng dẫn giải

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}$ ;

c) $\lim \frac{3^n-4^n+2}{3.4^n-5.2^n}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}=\lim \frac{2+\frac{6}{n}}{1-\frac{3}{n}}=2$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}=\lim \frac{1-\frac{n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\lim \frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\frac{-1}{2}$ ;