Lý thuyết Giới hạn của hàm số – Toán 11 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $y=f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$ thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

* Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,\underset{x\to x_0}{lim}{x}^k={x_0}^k,k\in {\mathbb{Z}}^{+}.\\ b,\underset{x\to x_0}{lim}\left[c.f(x)\right]=c.\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\end{array}$

($c\in \mathbb{R}$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\in \mathbb{R}$)

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói $y=f(x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì,$x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$.

Ta nói $y=f(x)$có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì,$a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

*Chú ý:

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)$ thì không tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$.

Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x\to x_0$bằng $x\to {x_0}^{+}$hoặc $x\to {x_0}^{-}$.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };a\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n<a$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}c=c,$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{c}{x^k})=0$

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn bên phải là $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f(x)$ ó giới hạn bên phải là $-\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Các giới hạn một bên$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty },k\in {\mathbb{Z}}^{+}.$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty },$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=-\mathrm{\infty },$ k là số nguyên dương lẻ.
• $\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{1}{x-a}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{1}{x-a}=-\mathrm{\infty }\left(a\in \mathbb{R}\right)$

Giới hạn vô cực

Nếu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L\ne 0$ và $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$hoặc $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g(x)=-\mathrm{\infty }$thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}\left[f(x).g(x)\right]$ được tính như sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ${x_0}^{+}$thành ${x_0}^{-}$(hoặc $+\mathrm{\infty }$,$-\mathrm{\infty }$)

B. Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

a) A = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$x($\sqrt{4x^2+9}-2x$);

b) B = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$($\sqrt{x^2-2x+2}-x$).

Hướng dẫn giải

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{2}{-x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}-1}=+\infty$

Bài 2. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$ khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số $x_n=\frac{1}{2n\pi };y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$

Suy ra $\lim x_n=\lim \frac{1}{2n\pi }=\frac{1}{2\pi }\lim \frac{1}{n}=\frac{1}{2\pi }.0=0$

Và $\lim y_n=\lim \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi \lim n}=0$

Khi đó ta xét:

• lim f($x_n$) = limsin ($2n\pi$) = 0;

• lim f ($y_n$) = limsin ($\frac{\pi }{2}+2n\pi$) = 1.

Do lim f($x_n$) $\ne$ lim f ($y_n$) (0 $\ne$ 1) nên hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$ không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x-4}-x}{x^2-4}$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x-2}-x}{\sqrt{3x+1}-2}$ .

Hướng dẫn giải